Question

已知：如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，过点A，B的切线相交于点M，求证：△ABM是等边三角形．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的判定,垂径定理

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，首先证明∠MAO=∠MBO=

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∠AOB；进而求出∠AOB=120°问题即可解决．

解答：证明：如图，连接OA，OB；
∵MA，MB是⊙O的切线，
∴∠MAO=∠MBO=

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∠AOB；
∵弦AB垂直平分半径ON，
∴OP=

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OA，∠OPA=90°，
∴∠OAP=30°，∠AOB=2∠AOP=120°，
∴∠MAO=∠MBO=

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∠AOB=60°，
∴△ABM是等边三角形．

点评：该命题以圆为载体，以旋切角定理、垂径定理、等边三角形的判定等几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断．