Question

阅读并探究下列问题：
（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明．
（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为
（3）如图③，将长方形纸片剪n刀，其中AB∥CD，则共剪出

 

个角．
若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E₁、∠E₂、∠E₃…表示，则被剪出的这些角的关系为

 

．
（4）如图④，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=42°，则∠GHM=

 

．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过E点作EF∥AB，则EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；
（2）分别过E、G、F分别作EM∥AB，GN∥AB，FP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，同（1）一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；
（3）综合（1）（2）易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．
（4）利用（3）的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易计算出∠GHM．

解答：解：（1）∠1+∠3=∠2．
理由如下：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，
∴∠1+∠3=∠AEF+∠CEF=∠AEC；

（2）分别过E、G、F分别作EM∥AB，GN∥AB，FP∥AB，
同（1）的证明方法一样可得：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；

（3）规律：将长方形纸片剪n刀，其中AB∥CD，则共剪出n+1个角．
若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E₁、∠E₂、∠E₃…表示，则被剪出的这些角的关系为∠A+∠C+∠E₂+∠E₄+…+∠E_n-2=∠E₁+∠E₃+…+∠E_n-1．
故答案为：n+1，∠A+∠C+∠E₂+∠E₄+…+∠E_n-2=∠E₁+∠E₃+…+∠E_n-1…8分

（4）图4中，由（3）的结论得，∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，
∴30°+∠GHM+42°=90°+30°，
∴∠GHM=48°．
故答案为：48°．

点评：此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意规律：开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．