Question

3．观察下列计算
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，…
（1）第5个式子是$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；第n个式是$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）从计算结果中找规律，利用规律计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+$…+$\frac{1}{2009×2010}$．
（3）计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+$…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第n个式子即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．

解答 解：（1）第5个式子是$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．