Question

【题目】如图1，矩形AOCB在坐标系中，A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，AB＞AO，矩形AOCB周长为18，面积为18．

（1）求B点坐标；

（2）如图2，E、D、G分别在OC、AB、BC上，连接ED、OG，若OG⊥ED于F，OE＝2AD，设D点横坐标为t，求CG的长（用含t的代数式表示）；

（3）如图3，在（2）的条件下，M是AB中点，连接FM并延长FM至P，连OP交AB于Q，若DQ＝，∠OPF＝∠COG＝β，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）(6，3)；（2）2t；（3）

【解析】

（1）设B点坐标为(m，n)，根据矩形周长和面积的值列方程组求解．

（2）作DH⊥OC于H，可证△DHE△OCG，由相似比可得CG＝2HE＝2AD．

（3）作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD，设DE与OQ交于点R．先证DMKF四点共圆，进而得出∠KFM＝45°，再导角推出OP是∠AOG的角平分线，然后可以导出△DRQ和△EOR均为等腰三角形，于是DE的长可用t表示出来．注意到∠AOD与∠NOK相等，可推出OD＝DE，最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值．

解：（1）设B点坐标为(m，n)．

由题意可知：

，

解得：，

∴B点坐标为(6，3)．

（2）如图2，作DH⊥OC于H．

则∠DHE＝90°，

∴∠HDE+∠DEH＝90°，

∵DH⊥OG于F，

∴∠GOC+∠DEH＝∠OFE＝90°，

∴∠HDE＝∠COG，

∵∠OCG＝90°＝∠DHE，

∴△DHE△OCG，

∴，

∵B(6，3)，

∴AB＝OC＝6，AO＝DH＝BC＝3，

∴，

∴CG＝2HE，

∵D点横坐标为t，

∴OH＝AD＝t，

∴OE＝2AD，

∴HE＝OH＝t，

∴CG＝2HE＝2t．

（3）如图3，作MN⊥OC于N，交OG于K，连接OD．

∵M为AB中点，

∴AM＝BM＝ON＝CN＝AO＝BC＝MN＝3，KN＝CG＝t，

∴KN＝AD，所以DM＝KM，

∵∠DFK＝∠DMK＝90°，

∴DFKM四点共圆，

∴∠DFM＝∠KFM＝45°，

∵∠KFM＝∠OPF+∠FOP，

∴∠FOP+β＝45°，

∴2∠FOP+2β＝90°，

∵∠AOC＝90°，

∴∠AOQ+∠FOP+∠COG＝∠AOQ+∠FOP+2β＝90°，

∴∠AOQ＝∠FOP，

∵∠OAQ＝∠OFR＝90°，

∴∠ORF＝∠OQA，

∵∠ORF＝∠DRQ，∠OQA＝∠ROE，

∴∠DRQ＝∠OQA，∠ROE＝∠ORF，

∴DR＝DQ＝，RE＝OE＝2t，

∴DE＝DR+RE＝+2t，

∵tan∠AOD＝＝＝tan∠NOK，

∴∠AOD＝∠NOK，

∵∠AOD+∠DOE＝∠NOK+∠OEF＝90°，

∴∠DOE＝∠OEF，

∴OD＝DE＝+2t，

在Rt△AOD中：OA2+AD2＝OD2，

∴9+t2＝，

解得t＝．