Question

【题目】已知抛物线y＝2x2＋bx＋c经过点A(2，－1) ．

（1）若抛物线的对称轴为x＝1，求b，c的值；

（2）求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；

（3）设抛物线顶点为P，若O、A、P三点共线（O为坐标原点），求b的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝－4 ,c＝－1；（2）证明见解析;（3）b＝－8或b＝－9．

【解析】分析：（1）根据对称轴为x＝1，可得 ，可求出b的值，再把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出c的值；

（2）求出b2－4ac的值，然后可判断出二次函数图像与x轴的交点个数；

（3）先求出直线OA的解析式，把把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出b，c之间的关系，根据顶点坐标表示出点P的坐标，代入直线OA的解析式，求出b的值.

详解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴－＝－＝1，∴b＝－4

将点A(2，－1)代入y＝2x2－4x＋c中，解得c＝－1；

（2）∵b2－4ac＝b2－8c，将(2，－1)代入y＝2x2＋bx＋c，得c＝－2b－9，

即b2－4ac＝b2－8(－2b－9)＝(b＋8)2＋8＞0，

∴方程2x2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，

∴抛物线与x轴有两个不同的交点

（3）抛物线顶点坐标为(－，)，

直线OA关系式为y＝－x，将顶点坐标代入直线OA，

得方程b2＋17b＋72＝0

求得b＝－8或b＝－9．