Question

如图，△ABC中，∠CAB与∠CBA均为锐角，分别以CA、CB为边向△ABC外侧作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直线AB于D₁，FF₁⊥直线AB于F₁．
（1）求证：DD₁+FF₁=AB；
（2）连接EG，问△ABC的面积与△ECG的面积是否相等？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）过点C作CH⊥AB于H，根据正方形的性质可得AC=AD，∠CAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠ADD₁=∠CAH，然后利用“角角边”证明△ADD₁和△CAH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=DD₁，同理可证BH=FF₁，再根据AH+BH=AB等量代换即可得证；
（2）过点B作BM⊥AC于M，过点G作GN⊥EC交EC的延长线于N，根据正方形的性质可得BC=CG，∠BCG=90°，再求出∠BCM=∠GCN，然后利用“角角边”证明△BCM和△GCN全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=GN，再根据等底等高的三角形的面积相等证明．

解答：（1）证明：如图，过点C作CH⊥AB于H，
在正方形CADE中，AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∵DD₁⊥直线AB，
∴∠ADD₁+∠DAD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠ADD1=∠CAH ∠AD1D=∠AHC=90° AC=AD

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴AH=DD₁，
同理可证BH=FF₁，
∵AH+BH=AB，
∴DD₁+FF₁=AB；

（2）解：如图，过点B作BM⊥AC于M，过点G作GN⊥EC交EC的延长线于N，
在正方形CBFG中，BC=CG，∠BCG=90°，
∵∠BCM+∠BCN=90°，
∠BCN+∠GCN=90°，
∴∠BCM=∠GCN，
在△BCM和△GCN中，

∠BCM=∠GCN ∠BMC=∠N=90° BC=CG

，
∴△BCM≌△GCN（AAS），
∴BM=GN，
又∵AC=CE，
∴△ABC的面积与△ECG的面积相等．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．