Question

5．如图，已知等边△ABC，延长BC至D，E在AB上，使AE=CD，连接DE，交AC于F点，过E作EG⊥AC于G点．求证：FG=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 延长GA到点H，使AH=FC，连接HE，可证明△AHE≌△CFD，可知∠H=∠CFD，结合对顶角可证得EA=EF，可知HG=GF，可证得结论．

解答 证明：
如图，延长GA到点H，使AH=FC，连接HE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠HAE=∠FCD=120°，
在△AHE和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠HAE=∠FCD}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHE≌△CFD（SAS），
∴∠EHA=∠CFD=∠GFE，
∴EH=EF，
∵EG⊥AC，
∴EG=GF，
∵HG=HA+AG=AG+FC，
∴AG+FC=GF，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC．

点评 本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．