【题目】如图,点 O 是△ABC 的边 AB 上一点,以 OB 为半径的⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 的切线交 AC 于点 E,且 DE⊥AC.
(1)证明:AB=AC;
(2)设 AB=cm,BC=2cm,当点 O 在 AB 上移动到使⊙O 与边 AC 所在直线相切时, 求⊙O 的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)首先证明OD∥AC,推出∠ODB=∠C,由OB=OD,推出∠B=∠ODB,即可证明∠B=∠C;
(2)设AC与⊙O相切于点F,连接OF,作AH⊥BC于H,设半径为r.解直角三角形求出AH,由tanC==2,推出EC=,推出AF=-r-=-r,在Rt△AOF中,根据OA2=AF2+OF2,构建方程即可解决问题.
(1)连接OD,
∵DE是⊙O的切线,
∵DE⊥OD,
∵AC⊥DE,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)设AC与⊙O相切于点F,连接OF,作AH⊥BC于H,设半径为r,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=1,
∴AH==2,
∴tan∠C==2,
∵∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°,
∴四边形ODEF是矩形,
∵OD=OF,
∴四边形ODEF是正方形,
∴EF=DE=r,
∵tanC==2,
∴EC=,
∴AF=﹣r﹣r=﹣r,
在Rt△AOF中,∵OA2=AF2+OF2,
∴(﹣r)2=r2+(﹣r)2,
解得r=.
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【题目】如果关于 x 的一元二次方程 a+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程+x=0 的两个根是 =0,=﹣1,则方程 +x=0 是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”:
①﹣x﹣6=0;
②2﹣2x+1=0.
(2)已知关于 x 的方程﹣(m﹣1)x﹣m=0(m 是常数)是“邻根方程”,求 m 的值;
(3)若关于 x 的方程 a+bx+1=0(a、b 是常数,a>0)是“邻根方程”,令 t=8a-,试求 t 的最大值.
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【题目】寒假丽丽用一块边长为10的正方形彩纸为她的人偶玩具做了一件披风,如图所示,先将正方形纸片对折,展平后得到中线,再分别沿折痕,将点,点都折到上点处,此时领口的长为( )
A.B.C.3D.
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克 40 元,规定每千克售价不低于成本,且不高于 80 元,经市场调查,每天的销售量 y( 千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如表:
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为 W(元),求 W 与 x 之间的函数表达式(利润=收入﹣成本);
(3)指出售价为多少元时获得利润最大?并试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况.
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【题目】“十一黄金周”前,某旅行社要印刷旅游宣传材料,甲印刷厂提出:每份材料收1元印刷费,另收1500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收2.5元印刷费,不收制版费.
(1)分别写出两印刷厂的收费y(元)与印制宣传材料数量x(份)之间的关系式;
(2)旅行社要印制800份宣传材料,选择那家印刷厂比较合算?说明理由.
(3)旅行社拟拿出3000元用于印制宣传材料,哪家印刷厂印制的多?
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【题目】以下说法合理的是( )
A. 小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30%
B. 抛掷一枚普通的正六面体骰子,出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6
C. 某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D. 在一次课堂进行的抛掷硬币试验中,某同学估计硬币落地后,正面朝上的概率为
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【题目】如图,两张宽度相等的纸条叠放在一起,重叠部分构成四边形ABCD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若纸条宽3cm,∠ABC=60°,求四边形ABCD的面积.
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【题目】“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
[来
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为小时,租用甲公司的车所需费用为元,租用乙公司的车所需费用为元,分别求出,关于的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,点D是抛物线第四象限上的一动点,连接DC,DB,当S△DCB=S△ABC时,求点D坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在CA的延长线上,连接DQ,AD,过点Q作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出PQ的长.
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