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【题目】如图,点 O ABC 的边 AB 上一点,以 OB 为半径的O BC 于点 D,过点 D 的切线交 AC 于点 E,且 DEAC

(1)证明:ABAC

(2) ABcmBC=2cm,当点 O AB 上移动到使O 与边 AC 所在直线相切时O 的半径.

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

(1)首先证明ODAC,推出∠ODB=C,由OB=OD,推出∠B=ODB,即可证明∠B=C;

(2)设AC与⊙O相切于点F,连接OF,作AHBCH,设半径为r.解直角三角形求出AH,由tanC==2,推出EC=,推出AF=-r-=-r,在RtAOF中,根据OA2=AF2+OF2,构建方程即可解决问题.

(1)连接OD,

DE是⊙O的切线,

DEOD,

ACDE,

ODAC,

∴∠ODB=C,

OB=OD,

∴∠B=ODB,

∴∠B=C,

AB=AC;

(2)设AC与⊙O相切于点F,连接OF,作AHBCH,设半径为r,

AB=AC,AHBC,

BH=CH=1,

AH==2,

tanC==2,

∵∠OFE=ODE=DEF=90°,

∴四边形ODEF是矩形,

OD=OF,

∴四边形ODEF是正方形,

EF=DE=r,

tanC==2,

EC=

AF=﹣r﹣r=r,

RtAOFOA2=AF2+OF2

﹣r)2=r2+(r)2

解得r=

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22x+10

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