Question

3．如图1，在平面直角坐标系中有梯形OABC，其中OA∥BC，A（6，0），B（2，4）．动点M以每秒1个单位长的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时点P以相同的速度，从点B沿折线B-C-O向点O运动．当点M到达点A时，两点同时停止运动．过点M作平行于OC的直线与折线O-B-A的交点为Q．点M运动的时间为t秒（0＜t＜6）

（1）计算∠OAB=45°；当t=0.5时，线段QM的长为1；
（2）如图2，当0＜t＜2时，如果以B、P、Q为顶点的三角形的面积为s，求s关于t的函数关系式；
（3）当0＜t＜2时，如果以B、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（4）当2＜t＜6时，连接PQ交线段OB于点R．请探究BQ与RQ的比值是否会改变？若不会，求这个定值；若会，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点B作BE⊥OA于点E，则可得AE=BE，从而可得∠OAB，求出直线OB的解析式，将t=0.5代入可得QM；
（2）如图2，延长MQ交BC于点F，求出QF，即可得出s关于t的函数关系式；
（3）分两种情况讨论，①∠QPB=90°，②∠PQB=90°，根据tan∠QBP的值，可得出t的值；
（4）先表示出PO、QM，则可判断四边形POMQ为平行四边形，继而△BQR∽△BAO，确定比值后即可得出答案．

解答 解：（1）过点B作BE⊥OA于点E，

则OE=BC=2，BE=AE=4，
故△ABE是等腰直角三角形，
即∠OAB=45°；
∵点B的坐标为（2，4），
∴直线OB的解析式为y=2x，
当OM=t=0.5时，QM=1；

（2）延长MQ交BC于点F，

QM=2t，则QF=4-2t，
s=$\frac{1}{2}$BP×QF=$\frac{1}{2}$t（4-2t）=-t²+2t；

（3）∵∠QBP=∠QOM，
∴tan∠QBP=tan∠QOM=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
BQ=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，BP=t，
①若∠QPB=90°，则$\frac{{2\sqrt{5}-\sqrt{5}t}}{t}=\frac{{2\sqrt{5}}}{2}$，
解得：t=1；
②若∠PQB=90°，则$\frac{{2\sqrt{5}-\sqrt{5}t}}{t}=\frac{2}{{2\sqrt{5}}}$，
解得：t=$\frac{5}{3}$；

（4）BQ与RQ的比值是否会改变，$\frac{BQ}{RQ}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
理由如下：PO=6-t，QM=6-t，
∴PO=QM，
∴四边形POMQ为平行四边形，
∴RQ∥OC
∴△BQR∽△BAO，
∴$\frac{BQ}{RQ}=\frac{BA}{AO}=\frac{{4\sqrt{2}}}{6}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了四边形综合题，涉及了一次函数解析式、三角形的面积，相似三角形的判定与性质，难度较大，解答本题关键是注意分类讨论思想及数形结合思想的运用．