Question

12．如图，已知一次函数y=$\frac{4}{3}$x+m的图象与x轴交于A（-6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）求AB中点C的坐标；
（3）求点D（0，-2）到直线AB的距离．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入y=$\frac{4}{3}$x+m即可求得m的值，从而求得直线AB的解析式，由解析式即可求得B的坐标．
（2）根据A、B的坐标，根据x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$求得即可．
（3）作DE⊥AB于E，先求得AB、BD，得出AB=BD，然后根据AAS证得△ABO≌△DBE，即可求得DE=OA=6，从而求得点D（0，-2）到直线AB的距离为6．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{4}{3}$x+m的图象与x轴交于A（-6，0），
∴0=$\frac{4}{3}$×（-6）+m，解得m=8，
∴一次函数为y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴B（0，8）．
（2）∵A（-6，0），B（0，8）．
∴AB中点C的横坐标=$\frac{-6}{2}$=-3，纵坐标=$\frac{8+0}{2}$=4，
∴AB中点C的坐标（-3，4）．
（3）如图，
∵A（-6，0），B（0，8）．
∴OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵D（0，-2），
∴BD=8+2=10，
∴AB=BD，
在△ABO和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DEB=90°}\\{∠ABO=∠DBE}\\{AB=BD}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△DBE（AAS），
∴DE=OA=6，
∴点D（0，-2）到直线AB的距离为6．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用，线段中点的求法，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．