【题目】对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②)
(1)根据以上操作和发现,求的值;
(2)将该矩形纸片展开.
①如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证:∠HPC=90°;
②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)
【答案】(1);(2)①证明见解析;②见解析.
【解析】(1)依据△BCE是等腰直角三角形,即可得到CE=BC,由图②,可得CE=CD,而AD=BC,即可得到CD=AD,即=;
(2)①由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2,进而得出AP=BC,再根据PH=CP,∠A=∠B=90°,即可得到Rt△APH≌Rt△BCP(HL),进而得到∠CPH=90°;
②由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,进而得到CP平分∠BCE,故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.
(1)由图①,可得∠BCE=∠BCD=45°,
又∵∠B=90°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴,即CE=BC,
由图②,可得CE=CD,而AD=BC,
∴CD=AD,
∴=;
(2)①设AD=BC=a,则AB=CD=a,BE=a,
∴AE=(﹣1)a,
如图③,连接EH,则∠CEH=∠CDH=90°,
∵∠BEC=45°,∠A=90°,
∴∠AEH=45°=∠AHE,
∴AH=AE=(﹣1)a,
设AP=x,则BP=a﹣x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,
∴AH2+AP2=BP2+BC2,
即[(﹣1)a]2+x2=(a﹣x)2+a2,
解得x=a,即AP=BC,
又∵PH=CP,∠A=∠B=90°,
∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),
∴∠APH=∠BCP,
又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90°,
∴∠APH+∠BPC=90°,
∴∠CPH=90°;
②折法:如图,由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,
故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;
折法:如图,由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,
由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,
又∵∠DCH=∠ECH,
∴∠BCP=∠PCE,即CP平分∠BCE,
故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.
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【题目】如图,一面墙上有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接矩形,已知矩形的高AC=2米,宽CD=米.
(1)求此圆形门洞的半径;
(2)求要打掉墙体的面积.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如图2,当EF⊥AC时,求EF的长度.
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【题目】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中红球有2个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为.
(1)求袋子中白球的个数;(请通过列式或列方程解答)
(2)随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图或列表解答)
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【题目】已知:ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DP∥OC且DP=OC,连接CP.得到四边形CODP.
(1)如图(1),在ABCD中,若∠ABC=90°,判断四边形CODP的形状,并证明;
(2)如图(2),在ABCD中,若AB=AD,判断四边形CODP的形状,并证明;
(3)如图(3),在ABCD中,若∠ABC=90°,且AB=AD,判断四边形CODP的形状,不需证明.
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【题目】如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰和等腰,其中,CD与BE、AE分别交于点P、对于下列结论:
∽;;;.
其中正确的是
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知:AD平分∠CAE,AD∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形?证明你的结论.
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【题目】已知抛物线甲:y=﹣2x2﹣1和抛物线乙的形状相同,且两条抛物线的对称轴均为y轴,两点距离5个单位长度,它们的图象如图所示,则抛物线乙的解析式为______.
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【题目】如图,△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°,连接BF.
(1)求证:△CAE∽△CBF
(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.
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