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【题目】对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:先沿CE折叠,使点B落在CD边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②

(1)根据以上操作和发现,求的值;

(2)将该矩形纸片展开.

①如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证:∠HPC=90°;

②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)

【答案】(1);(2)①证明见解析;②见解析.

【解析】(1)依据△BCE是等腰直角三角形,即可得到CE=BC,由图②,可得CE=CD,而AD=BC,即可得到CD=AD,即=

(2)①由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2,进而得出AP=BC,再根据PH=CP,∠A=∠B=90°,即可得到Rt△APH≌Rt△BCP(HL),进而得到∠CPH=90°;

②由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,进而得到CP平分∠BCE,故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.

(1)由图①,可得∠BCE=∠BCD=45°,

又∵∠B=90°,

∴△BCE是等腰直角三角形,

,即CE=BC,

由图②,可得CE=CD,而AD=BC,

∴CD=AD,

=

(2)①设AD=BC=a,则AB=CD=a,BE=a,

∴AE=(﹣1)a,

如图③,连接EH,则∠CEH=∠CDH=90°,

∵∠BEC=45°,∠A=90°,

∴∠AEH=45°=∠AHE,

∴AH=AE=(﹣1)a,

设AP=x,则BP=a﹣x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2

∴AH2+AP2=BP2+BC2

即[(﹣1)a]2+x2=(a﹣x)2+a2

解得x=a,即AP=BC,

又∵PH=CP,∠A=∠B=90°,

∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),

∴∠APH=∠BCP,

又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90°,

∴∠APH+∠BPC=90°,

∴∠CPH=90°;

②折法:如图,由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,

故沿着过D的直线翻折,使点A落在CD边上,此时折痕与AB的交点即为P;

折法:如图,由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,

由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,

又∵∠DCH=∠ECH,

∴∠BCP=∠PCE,即CP平分∠BCE,

故沿着过点C的直线折叠,使点B落在CE上,此时,折痕与AB的交点即为P.

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