Question

【题目】如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，点P在边AC上运动（点P与点A、C不重合）．以P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于点D、过点D作⊙P的切线交射线BC于点E（点E与点B不重合）．

（1）求证：BE＝DE；

（2）若PA＝1．求BE的长；

（3）在P点的运动过程中．（BE+PA）PA的值是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝3；（3）（BE+PA）PA有最大值，最大值为．

【解析】

（1）由半径相等可设∠PAD＝∠ADP＝α，根据切线的性质得到∠EDP＝90°，证明∠BDE=90°-α，由∠ACB＝90°，得到∠B＝90°﹣α，再根据“等角对等边”即可求解；

（2）过点E作EG⊥BD，则点G为BD的中点，根据等量代换得到∠GED＝∠BAC，从而求出tan∠BAC，则cos∠BAC ，sin∠BAC ，根据锐角三角函数的定义即可求出AD，DG以及BE；

（3）设PA＝x，根据（2）可得出（BE+PA）PA＝﹣2x2+5x，根据二次函数的性质即可求解．

解：（1）连接PD，∵PA=PD，

∴设∠PAD＝∠ADP＝α，

∵DE是圆的切线，则∠EDP＝90°，

∴∠PDA+∠BDE＝90°，即α+∠BDE＝90°，

∴∠BDE=90°-α

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣α，

∴∠BDE=∠B

∴BE＝DE；

（2）过点E作EG⊥BD，则点G为BD的中点，

∵∠GED+∠EDB＝90°，∠PDA+∠EDB＝90°，

∴∠GED＝∠PDA，

∴∠GED＝∠BAC，

tan∠BAC，则cos∠BAC ，sin∠BAC ，

∵PA=1，AC=4，BC=2，

∴AB=，

∴AD＝2PAcos∠BAC ，

DG＝BGBD＝（AB﹣AD）（2），

BE＝DE3，

（3）设PA＝x，

由（2）知：BE＝DE＝5﹣，

则（BE+PA）PA＝(5﹣2x+x)x=﹣x2+5x，

∵﹣1＜0，故（BE+PA）PA有最大值，

∴当x时，有最大值为．