[题目]在学习绝对值后.我们知道.表示数在数轴上的对应点与原点的距离. 如:表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而.即表示5.0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的.有:表示5.3在数轴上对应的两点之间的距离,.所以表示5.在数轴上对应的两点之间的距离. 一般地.点A.B在数轴上分别表示有理数..那么A.B之间的距离可表示为．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离. 如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的，有：表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离. 一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为．

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；

（2）数轴上P、Q两点的距离为3，且点P表示的数是2，则点Q表示的数是___________.

（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；

（4）满足的整数的值为 .

（5）的最小值为 .

【答案】（1）3；4；（2）5或-1；（3）|x+3|+|x-1|；（4）符合题意的整数的值为-2、-1、0、1、2、3；（5）2500.

【解析】

（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；（3）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距离之和；（4）利用分类讨论的方法可以解答本题；（5）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，当50≤x≤51时取得最小值．

解：（1）根据题意，得：|5-2|=3；|1-（-3）|=4，

（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；

（3）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|；

（4）∵|x-3|+|x+2|=5，
∴当x＞3时，化简得:x-3+x+2=5，得x=3；
当-2≤x≤3时，化简得:3-x+x+2=5，所以整数的值为-2、-1、0、1、2、3；
当x＜-2时，3-x-x-2=5，得x=-2；

所以符合题意的整数的值为-2、-1、0、1、2、3．

（5）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|），其中：|x-1|+|x-100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，所以当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|值最小，当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|=x-1+100-x=99,故有最小值为|100-1|=99；

同理：|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，
当2≤x≤99时，|x-2|+|x-99|=x-2+99-x=97,故有最小值为|99-2|=97；…
|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，
当50≤x≤51时，|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1．

综上所述，当50≤x≤51时，每个括号里两个绝对值式子的和的值最小，所以，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．

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