Question

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直线PQ沿CA方向自C向A运动，速度为1cm/s，且总保持PQ∥AB；同时，点M从A出发沿AB方向向B运动，速度为2cm/s．设运动时间为t（0＜t＜4）
（1）当t为何值时，点A在PM的垂直平分线上？
（2）设△PMQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得△PMQ的面积y为△ABC面积的$\frac{5}{36}$？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）将△PMQ沿PQ翻折得四边形MPM′Q，是否存在某一时刻t，使得四边形MPM′Q为菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当点A在PM的垂直平分线上时，AP=AM，据此求出t的值是多少即可．
（2）首先作MD⊥PQ于点D，CE⊥AB于点E，然后分别求出PQ、MD的值是多少，再根据三角形的面积公式，求出y与t的函数关系式即可．
（3）存在某一时刻t，使得△PMQ的面积y为△ABC面积的$\frac{5}{36}$．首先求出△ABC面积是多少，进而求出△ABC面积的$\frac{5}{36}$是多少；然后解一元二次方程，求出t等于多少时，△PMQ的面积y为△ABC面积的$\frac{5}{36}$即可．
（4）存在某一时刻t，使得四边形MPM′Q为菱形．首先根据四边形MPM′Q为菱形，可得MP=MQ；然后根据余弦定理，分别求出MP、MQ的值各是多少，再根据它们相等，求出t的值是多少即可．

解答 解：（1）当点A在PM的垂直平分线上时，AP=AM，
∵CP=t，AC=6，
∴AP=6-t，
∵AM=2t，
∴6-t=2t，
解得t=2，
即当t为2时，点A在PM的垂直平分线上．

（2）如图1，作MD⊥PQ于点D，CE⊥AB于点E，，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}=10$，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，
∵PQ∥AB，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{AC}=\frac{CE-MD}{CE}$，
即$\frac{PQ}{10}=\frac{t}{6}=\frac{\frac{24}{5}-MD}{\frac{24}{5}}$，
解得PQ=$\frac{5}{3}t$，MD=$\frac{24}{5}-\frac{4}{5}t$，
∴y=$\frac{1}{2}PQ•MD$
=$\frac{1}{2}×\frac{5}{3}t$×（$\frac{24}{5}-\frac{4}{5}t$）
=-$\frac{2}{3}$t²+4t．
即y=-$\frac{2}{3}$t²+4t．

（3）存在某一时刻t，使得△PMQ的面积y为△ABC面积的$\frac{5}{36}$．
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{1}{2}×6×8=24$，
∴y=24×$\frac{5}{36}=\frac{10}{3}$，
即-$\frac{2}{3}$t²+4t=$\frac{10}{3}$，
整理，可得
t²-6t+5=0，
解得t=1或t=5（舍弃），
∴t=1时，△PMQ的面积y为△ABC面积的$\frac{5}{36}$．

（4）如图2，，
存在某一时刻t，使得四边形MPM′Q为菱形．
∵四边形MPM′Q为菱形，
∴MP=MQ，
∵PQ∥AB，
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{CQ}{BC}$，
∴$\frac{t}{6}=\frac{CQ}{8}$，
解得CQ=$\frac{4}{3}$t，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴cos∠A=$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=0.6$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=0.8$，
在△AMP中，由余弦定理，可得
MP²=AP²+AM²-2AP•AM•cos∠A
=（6-t）²+4t²-4t（6-t）×0.6
=7.4t²-26.4t+36
在△BMQ中，由余弦定理，可得
MQ²=BM²+BQ²-2BM•BQ•cos∠B
=（10-2t）²+（8-$\frac{4}{3}$t）²-2（10-2t）×（8-$\frac{4}{3}$t）×0.8
=$\frac{68}{45}$t²-14.4t+36
∵MP=MQ，
∴7.4t²-26.4t+36=$\frac{68}{45}$t²-14.4t+36，
∴t₁=2$\frac{2}{53}$，t₂=0（舍去），
∴t的值为2$\frac{2}{53}$时，四边形MPM′Q为菱形．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．