Question

10．如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，CD=4，DE=2.5，∠EDF=90°，则DF长是$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 设DF和AE相交于O点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DF的长．

解答 解：设DF和AE相交于O点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，
即∠FDC=∠EDA，
∵AE⊥CF于点H，
∴∠F+∠FOH=90°，
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，
∴∠F=∠E，
∴△ADE∽△CDF，
∴AD：CD=DE：DF，
∵AD=3，DC=4，DE=2.5，
∴DF=$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，利用相似三角形的判定及性质是解答此题的关键．