Question

2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=4，CD=2，∠ADB=3∠ABD，则AD=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作BD的垂直平分线，交AB于点E，连接DE，设∠ABD=α，证明∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；证明AE=2BE（设为2λ），得到AD=AE=2λ；利用勾股定理，可证明4λ²-4=9λ²-36，解得：λ=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，求出AD即可解决问题．

解答 解：如图，作BD的垂直平分线，交AB于点E，连接DE，设∠ABD=α，设BE=λ，
则BE=DE=λ，BF=DF=2，CF=4；
∴∠ABD=∠EDB=α；
∵∠AED=∠ABD+∠EDB=2α，∠ADB=3∠ABD=3α，
∴∠AED=∠ADE=2α，AE=AD；
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF∥AC，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=2，
∴AE=2BE=2λ，
∴AD=AE=2λ；
由勾股定理得：
AC²=AD²-DC²=4λ²-4，
AC²=AB²-BC²=9λ²-36，
∴4λ²-4=9λ²-36，
解得：λ=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，运用相似三角形的判定及其性质来分析．