【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=8,∠BAD=60°,点E从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,当点E不与点A重合时,过点E作EF⊥AD于点F,作EG∥AD交AC于点G,过点G作GH⊥AD交AD(或AD的延长线)于点H,得到矩形EFHG,设点E运动的时间为t秒
(1)求线段EF的长(用含t的代数式表示);
(2)求点H与点D重合时t的值;
(3)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位,求S与t之间的函数关系式;
(4)矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′,当OO′∥AD时,t的值为 ;当OO′⊥AD时,t的值为 .
【答案】(1)EF=t;(2)t=;(3);(4)t=4;t=3.
【解析】
试题分析:(1)由题意知:AE=2t,由锐角三角函数即可得出EF=t;
(2)当H与D重合时,FH=GH=8﹣t,由菱形的性质和EG∥AD可知,AE=EG,解得t=;
(3)矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论:①当H在线段AD上,此时重合的部分为矩形EFHG;②当H在线段AD的延长线上时,重合的部分为五边形;
(4)当OO′∥AD时,此时点E与B重合;当OO′⊥AD时,过点O作OM⊥AD于点M,EF与OA相交于点N,然后分别求出O′M、O′F、FM,利用勾股定理列出方程即可求得t的值.
试题解析:(1)由题意知:AE=2t,0≤t≤4,∵∠BAD=60°,∠AFE=90°,∴sin∠BAD=,∴EF=t;
(2)∵AE=2t,∠AEF=30°,∴AF=t,当H与D重合时,此时FH=8﹣t,∴GE=8﹣t,∵EG∥AD,∴∠EGA=30°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=30°,∴∠BAC=∠EGA=30°,∴AE=EG,∴2t=8﹣t,∴t=;
(3)当0≤t≤时,此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG,∴由(2)可知:AE=EG=2t,∴S=EFEG=t2t=;
当<t≤4时,如图1,设CD与HG交于点I,此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID,∵AE=2t,∴AF=t,EF=t,∴DF=8﹣t,∵AE=EG=FH=2t,∴DH=2t﹣(8﹣t)=3t﹣8,∵∠HDI=∠BAD=60°,∴tan∠HDI=,∴HI=DH,∴S=EFEG﹣DHHI==;
综上所述:;
(4)当OO′∥AD时,如图2,此时点E与B重合,∴t=4;
当OO′⊥AD时,如图3,过点O作OM⊥AD于点M,EF与OA相交于点N,由(2)可知:AF=t,AE=EG=2t,∴FN=t,FM=t,∵O′O⊥AD,O′是FG的中点,∴O′O是△FNG的中位线,∴O′O=FN=t,∵AB=8,∴由勾股定理可求得:OA=,∴OM=,∴O′M=,∵FE=t,EG=2t,∴由勾股定理可求得:,∴由矩形的性质可知:,∵由勾股定理可知:,∴,∴t=3或t=﹣6(舍去).
故答案为:t=4;t=3.
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【题目】有A、B、C、D四位员工做一项工作,每天必须是三位员工同时做,另一位员工休息,当完成这项工作时,D做了8天,比其他任何人都多,B做了5天,比其他任何人都少,那么A做了_____天.
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【题目】下列去括号错误的是
A. a-(b+c)=a-b-c B. a+(b-c)=a+b-c
C. 2(a-b)=2a-b D. -(a-2b)=-a+2b
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【题目】某企业车间有50名工人,某一天他们生产的机器零件个数统计如表:
零件个数(个) | 6 | 7 | 8 |
人数(人) | 15 | 22 | 10 |
表中表示零件个数的数据中,众数、中位数分别是( )
A.7个、7个B.6个、7个C.5个、6个D.8个、6个
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