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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=8,∠BAD=60°,点E从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,当点E不与点A重合时,过点E作EF⊥AD于点F,作EG∥AD交AC于点G,过点G作GH⊥AD交AD(或AD的延长线)于点H,得到矩形EFHG,设点E运动的时间为t秒

(1)求线段EF的长(用含t的代数式表示);

(2)求点H与点D重合时t的值;

(3)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位,求S与t之间的函数关系式;

(4)矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′,当OO′∥AD时,t的值为 ;当OO′⊥AD时,t的值为

【答案】(1)EF=t;(2)t=;(3);(4)t=4;t=3.

【解析】

试题分析:(1)由题意知:AE=2t,由锐角三角函数即可得出EF=t;

(2)当H与D重合时,FH=GH=8﹣t,由菱形的性质和EG∥AD可知,AE=EG,解得t=

(3)矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论:①当H在线段AD上,此时重合的部分为矩形EFHG;②当H在线段AD的延长线上时,重合的部分为五边形;

(4)当OO′∥AD时,此时点E与B重合;当OO′⊥AD时,过点O作OM⊥AD于点M,EF与OA相交于点N,然后分别求出O′M、O′F、FM,利用勾股定理列出方程即可求得t的值.

试题解析:(1)由题意知:AE=2t,0≤t≤4,∵∠BAD=60°,∠AFE=90°,∴sin∠BAD=,∴EF=t;

(2)∵AE=2t,∠AEF=30°,∴AF=t,当H与D重合时,此时FH=8﹣t,∴GE=8﹣t,∵EG∥AD,∴∠EGA=30°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAC=30°,∴∠BAC=∠EGA=30°,∴AE=EG,∴2t=8﹣t,∴t=

(3)当0≤t≤时,此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG,∴由(2)可知:AE=EG=2t,∴S=EFEG=t2t=

<t≤4时,如图1,设CD与HG交于点I,此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID,∵AE=2t,∴AF=t,EF=t,∴DF=8﹣t,∵AE=EG=FH=2t,∴DH=2t﹣(8﹣t)=3t﹣8,∵∠HDI=∠BAD=60°,∴tan∠HDI=,∴HI=DH,∴S=EFEG﹣DHHI==

综上所述:

(4)当OO′∥AD时,如图2此时点E与B重合,∴t=4;

当OO′⊥AD时,如图3,过点O作OM⊥AD于点M,EF与OA相交于点N,由(2)可知:AF=t,AE=EG=2t,∴FN=t,FM=t,∵O′O⊥AD,O′是FG的中点,∴O′O是△FNG的中位线,∴O′O=FN=t,∵AB=8,∴由勾股定理可求得:OA=OM=,∴O′M=,∵FE=t,EG=2t,∴由勾股定理可求得:,∴由矩形的性质可知:,∵由勾股定理可知:,∴,∴t=3或t=﹣6(舍去).

故答案为:t=4;t=3.

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