如图.在平面直角坐标系中.直线与抛物线y＝ax2+bx-3交于A.B两点.点A在x轴上.点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点.过点P作x轴的垂线交直线AB于点C.作PD⊥AB于点D．(1)求抛物线的解析式,(2)设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长.并求出线段PD长的最大值,②连结PB.线段PC把△PDB分成两个三角形.是否存在适合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

（1）；（2）①；；②0或3.

【解析】

试题分析：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；

（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；

②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为1：2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

试题解析：（1）在中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4．

∴A(-1，0)、B(4，5) .

将A(-1，0)、B(4，5)分别代入y＝ax2＋bx－3中，得

，解得．

∴所求解析式为.

（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO=45°,

∴．

设，则，

∴．

∴PD的最大值为．

②当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1:2．

如图，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，

∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=.

在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.

又∵BG=4-m，

∴.

当时，解得：m=0；

当 2时，解得：m=3．

故当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1：2．

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法求函数解析式；3.坐标与图形性质；4.二次函数的图象与性质；5.锐角三角函数定义；6.三角形的面积求法；7.分类思想的应用.

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