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【题目】如图,已知抛物线与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.

(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;

(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;

(3)证明:当直线l绕点D旋转时,均为定值,并求出该定值.

【答案】(1)a=,A(﹣,0)抛物线的对称轴为x=;(2)点P的坐标为(,2)或(,0)或(,﹣4);(3)

【解析】

试题分析:(1)由点C的坐标为(0,3),可知﹣9a=3,故此可求得a的值,然后令y=0得到关于x的方程,解关于x的方程可得到点A和点B的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;

(2)利用特殊锐角三角函数值可求得CAO=60°,依据AE为BAC的角平分线可求得DAO=30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为(,a).依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长,然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可;

(3)设直线MN的解析式为y=kx+1,接下来求得点M和点N的横坐标,于是可得到AN的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长,最后将AM和AN的长代入化简即可.

试题解析:(1)C(0,3),﹣9a=3,解得:a=

令y=0得:a0,,解得:x=﹣或x=点A的坐标为(﹣,0),B(,0),抛物线的对称轴为x=

(2)OA=,OC=3,tanCAO=∴∠CAO=60°.

AE为BAC的平分线,∴∠DAO=30°,DO=AO=1,点D的坐标为(0,1)

设点P的坐标为(,a).

依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+(a﹣1)2

当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.

当AD=DP时,4=3+(a﹣1)2,解得a=2或a=0,点P的坐标为(,2)或(,0).

当AP=DP时,12+a2=3+(a﹣1)2,解得a=﹣4,点P的坐标为(,﹣4).

综上所述,点P的坐标为(,2)或(,0)或(,﹣4).

(3)设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:,解得:m=直线AC的解析式为

设直线MN的解析式为y=kx+1.

把y=0代入y=kx+1得:kx+1=0,解得:x=点N的坐标为(,0),AN==

与y=kx+1联立解得:x=点M的横坐标为

过点M作MGx轴,垂足为G.则AG=

∵∠MAG=60°,AGM=90°,AM=2AG==,∴= == =

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