Question

已知：AB=A′B′，AC=A′C′，AD为BC边的中线，A′D′为B′C′边的中线，AD=A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：

分析：延长AD到点E使AD=DE，连接BE，延长A′D′到点E′使A′D′=D′E′，可证得△ADC≌△EDB，△A′D′C′≌△E′D′B′，进一步可证得△ABE≌△A′B′E′，可得出∠BAC=∠B′A′C′，可证明△ABC≌△A′B′C′．

解答：证明：如图，延长AD到点E使AD=DE，连接BE，延长A′D′到点E′使A′D′=D′E′，
在△ADC和△EDB中，

AD=ED ∠ADC=∠BDE CD=BD

，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC，
同理可理B′E′=A′C′，
∵AC=A′C′，
∴BE=B′E′，
∵AE=2AD，A′E′=2A′D′，且AD=A′D′，
∴AE=A′E′，
在△ABE和△A′B′E′中，

AE=A′E′ BE=B′E′ AB=A′B′

，
∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
又∵∠E=∠DAC，∠E′=∠D′A′C′，
∴∠DAC=∠D′A′C′，
∴∠BAD+∠DAC=∠B′A′D′+∠D′A′C′，
即∠BAC=∠B′A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′ ∠BAC=∠B′A′C′ AC=A′C′

，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明出∠BAC=∠B′A′C′是解题的关键．