【题目】如图,在⊙中,AB是直径,BC是弦,BC=BD,连接CD交⊙于点E,∠BCD=∠DBE.
(1)求证:BD是⊙的切线.
(2)过点E作EF⊥AB于F,交BC于G,已知DE=,EG=3,求BG的长.
【答案】(1)见解析;(2)BG的长为5.
【解析】
(1)连接AE,根据圆周角定理可得∠BAE=∠BCE,由AB是直径可得∠AEB=90°,进而可得∠BAE+∠ABE=90°,由∠BCD=∠DBE.利用等量代换即可求出∠ABD=90°,可得BD是⊙O的切线;(2)延长EF交⊙O于H,根据垂径定理可得,进而可得∠ECB=∠BEH,由∠EBC是公共角即可证明△EBC∽△GBE,根据相似三角形的性质可得,根据等腰三角形的性质可得∠D=∠BCE,利用等量代换可得∠D=∠DBE,可得BE=DE,由∠AFE=∠ABD=90°可得EF//BD,根据平行线性质可得∠D=∠CEF,即可证明∠BCE=∠CEF,可得CG=GE,即可得出BC=BG+EG,代入求出BG的长即可.
(1)如图,连接AE,则∠BAE=∠BCE,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE+∠BCE=90°,
∵∠BCE=∠DBE,
∴∠ABE+∠DBE=90°,即∠ABD=90°,
∴BD是⊙O的切线.
(2)如图,延长EF交⊙O于H,
∵EF⊥AB,AB是直径,
∴,
∴∠ECB=∠BEH,
∵∠EBC=∠GBE,
∴△EBC∽△GBE,
∴,
∵BC=BD,
∴∠D=∠BCE,
∵∠BCE=∠DBE,
∴∠D=∠DBE,
∴BE=DE=,
∵∠AFE=∠ABD=90°,
∴BD∥EF,
∴∠D=∠CEF,
∴∠BCE=∠CEF,
∴CG=GE=3,
∴BC=BG+CG=BG+3,
∴,
∴BG=-8(舍)或BG=5,
即BG的长为5.
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【题目】垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变,是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法.为了增强同学们垃圾分类的意识,某班举行了专题活动,对200件垃圾进行分类整理,得到下列统计图表,请根据统计图表回答问题:(其中A:可回收垃圾;B:厨余垃圾;C:有害垃圾;D:其它垃圾).
类别 | 件数 |
A | 70 |
B | b |
C | c |
D | 48 |
(1)________;________;
(2)补全图中的条形统计图;
(3)有害垃圾C在扇形统计图中所占的圆心角为多少?
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【题目】每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命,令人痛心疾首.今年某校为确保学生安全,开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用表示,共分成四组:..C.D.),下面给出了部分信息:
七年级10名学生的竞赛成绩是:99,80,99,86,99,96,90,100,89,82
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是:94,90,94
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图:
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表:
年级 | 七年级 | 八年级 |
平均数 | 92 | |
中位数 | 93 | 94 |
众数 | 99 | 100 |
方差 | 52 | 50.4 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中的值;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级学生掌握防溺水安全知识较好?请说明理由(一条理由即可);
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀()的学生人数是多少?
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【题目】“半日走遍江淮大地,安徽风景尽在徽园”,位于省会合肥的徽园景点某年三月共接待游客万人,四月比三月旅游人数增加了,五月比四月游客人数增加了,已知三月至五月徽园的游客人数平均月增长率为,则可列方程为( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC与PE的和最小时,∠CPE的度数是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
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【题目】二次函数=(≠0)图象如图所示,下列结论:①>0;②=0;③当≠1时,>;④>0;⑤若=,且≠,则=2.其中正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ②⑤ D. ②③⑤
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【题目】如图,已知,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,点E在AB上,过点E作EF⊥BC,点G在FE的延长线上,且GA=GE.
(1)求证:AG与⊙O相切.
(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.
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【题目】今年我市将创建全国森林城市,提出了“共建绿色城”的倡议.某校积极响应,在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动,校团委对全校各班的植树情况道行了统计,绘制了如图所示的两个不完整的统计图.
(1)求该校的班级总数;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)求该校各班在这一活动中植树的平均数.
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【题目】在△ABC中,点O是边AC的中点,分别过点A、C作射线BO的垂线,E、F是垂足.
(1)如图1,求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如图2,若,,,求线段的长.
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