Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，且AB=8，AD=4．P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，则PG+PH的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：首先根据题意结合图形证明线段AE=CE，然后借助勾股定理求出AE的长度；借助三角形的面积公式即可解决问题．

解答：解：如图，连接EP；
由翻折变换的性质可知：
∠EAC=∠BAC；
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠EAC=∠ECA；
∴EA=EC（设为x），
∵DC=AB=8，
∴DE=8-x；
由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，
即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5；
∵S△AEC=

1

2

EC•AD=

1

2

×5×4，
S_△AEC=S_△APE+S_△CPE，
而S△APE+S△CPE=

1

2

AE•PG+

1

2

EC•PH，
∴

1

2

×5×4=

1

2

×5×PG+

1

2

×5×PH，
∴PG+PH=4．
故该题答案为4．

点评：该命题以矩形为载体，借助对称变换来考查全等三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等几何知识；对分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．