Question

已知cos72°=

5 -1

4

，求cos36°．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，由cosC=cos72°=

5 -1

4

，设BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．推出△ABC∽△BCD；由AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由两三角形相似得比例求出x的值即可；过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE，利用锐角三角函数定义求出cos36°．

解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BD

=

BC

CD

，即

x+1

1

=

1

x

，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（负值，舍去），
过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=BC，
∴E为CD中点，即DE=CE=

5 -1

4

，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

AE

AB

=

1+ 5 -1 4

1+ 5 -1 2

=

5 +1

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．