Question

抛物线y=

1

2

x²-

5

2

x与x轴交于O，A两点，半径为1的动圆（⊙P），圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动，半径为2的动圆（⊙Q），圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动，若两圆同时开始移动，且移动速度始终相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止下来．
（1）设P点的坐标（t，

1

2

t²-

5

2

t），试写出的t取值范围，并用含t的式子表示Q点的坐标；
（2）当⊙P与⊙Q外切时，试判断⊙Q与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）当t取何值时两圆相离．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OP、PQ、AQ．先根据抛物线的对称性，得出y=

1

2

x²-

5

2

x与x轴的两个交点O与A关于抛物线的对称轴x=

5

2

对称，再证明四边形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，根据等腰梯形的性质得出OM=AN=t．然后解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，求出OA=5，进而得出点Q的横坐标是5-t；
（2）⊙P与⊙Q外切时，⊙Q与x轴的位置关系是相切，当⊙P与⊙Q外切则时，由（1）可知：PQ=MN=1+2=3，根据等腰梯形的对称性可知OM=AN=

1

2

（5-3）=1，所以可求出t的值为1，进而可求出Q的横坐标代入抛物线的解析式即可求出Q的纵坐标，即Q到x轴的距离，再和圆Q的半径2比较大小即可得到圆和x轴的位置关系；
（3）⊙P与⊙Q相离，包含两种情况：①⊙P与⊙Q外离，根据两圆外离时，圆心距＞两圆半径之和求解；②⊙P与⊙Q内含，根据两圆内含时，圆心距＜两圆半径之差的绝对值求解．

解答：解：（1）连接OP、PQ、AQ．
∵抛物线y=

1

2

x²-

5

2

x与x轴交于O，A两点，
∴O与A关于抛物线的对称轴x=

5

2

对称，
又∵动圆（⊙P）的圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；动圆（⊙Q）的圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动，两圆同时出发，且移动速度相等，
∴OP=AQ，P与Q也关于直线x=

5

2

对称，
∴四边形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，则OM=AN=t．
解方程

1

2

x²-

5

2

x=0，得x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），OA=5，
∴ON=OA-AN=5-t，
∴点Q的横坐标是5-t；

（2）⊙P与⊙Q外切时，⊙Q与x轴的位置关系是相切，理由如下：
当⊙P与⊙Q外切则时，由（1）可知：PQ=MN=1+2=3，根据等腰梯形的对称性可知OM=AN=

1

2

（5-3）=1，
∴t=1，
∴点Q的横坐标是5-1=4，
把x=4代入抛物线解析式y=

1

2

x²-

5

2

x得：y=-2，
∴Q到x轴的距离是2，
∵圆的半径为2，
∴d=r，
∴⊙Q与x轴的位置关系是相切；

（3）若⊙P与⊙Q相离，分两种情况：
①⊙P与⊙Q外离，则PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=5，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=5-2t，
∴5-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P与⊙Q内含，则PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=5-2t，
∴5-2t＜1，
解得t＞2，
又∵两圆分别从O、A两点同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止运动，OA=5，点P的横坐标为t，
∴2t≤5，
解得t≤

5

2

．
∴2＜t≤

5

2

．
故答案为：5-t；0≤t＜1或2＜t≤

5

2

．

点评：本题借助于动点主要考查了二次函数的性质，等腰梯形的性质，圆与圆的位置关系，题型比较新颖，难度适中．利用二次函数的对称性等证明四边形OPQA是等腰梯形是解（1）题的关键；进行分类讨论是解（3）题的关键．