Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，-2）直线OM是一次函数y=x的图象，让⊙A沿y轴正方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t．
（1）填空：
①直线OM与x轴所夹的锐角度数为

 

°
②当t=

 

时，⊙A与坐标轴有两个公共点
（2）当t＞3时，求出运动过程中⊙A与直线OM相切时t的值，
（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦长为1时，求t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）①利用直线y=x上点的坐标特征易得直线y=x为第一、三象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；
②根据直线与圆的位置关系得到⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，所以当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点，易得t=1或t=2或t=3；
（2）作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于P，如图1，OB=t-2，AB=AC=1，OH=1，先判断△OPH和△APC都是等腰直角三角形，则PH=OH=1，AP=

2

AC=

2

，得到AH=AP+PH=

2

+1，然后利用AH=OB得到方程t-2=

2

+1，再解一次方程即可；
（3）分类讨论：当点A在x轴下方，如图2，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，交x轴于Q，AH⊥x轴于H，⊙A与直线OM交于E、F，AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=2-t，先得到△AEF为等边三角形，则AC=

3

2

AE=

3

2

，与（2）一样可得△OCQ和△AHQ都是等腰直角三角形，则HG=AH=2-t，所以OQ=OH-HQ=t-1，AQ=

2

（2-t），于是得到CQ=

2

2

OQ=

2

2

（t-1），利用AC=CQ+AQ得到方程

2

2

（t-1）+

2

（2-t）=

3

2

，再解方程即可；当点A在x轴上方，如图3，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于Q，⊙A与直线OM交于E、F，则AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=t-2，同样可得△AEF为等边三角形，AC=

3

2

，△ACQ和△OHQ都是等腰直角三角形，则HQ=OH=1，AQ=

2

AC=

2

•

3

2

=

6

2

，然后利用AH=HQ+AQ得到方程t-2=1+

6

2

，再方程求出t即可．

解答：解：（1）①∵直线y=x上点到x轴和y轴的距离相等，
∴直线y=x为第一、三象限的角平分线，
∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；
②∵⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（1，-2），
∴⊙A沿y轴正方向运动时，⊙A始终与y轴相切，
当⊙A与x轴相切或点A在x轴上时，⊙A与坐标轴有两个公共点，
⊙A与x轴相切，则点A与x轴的距离为1，得到t=1或3；当点A在x轴上，则t=2；
所以t=1s或t=2或t=3；
故答案为45，1s或2s或3s；
（2）作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于P，如图1，
则OB=t-2，AB=AC=1，OH=1，
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，
∴∠POH=45°，
∴∠OPH=45°，
∴∠APC=45°，
∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，
∴PH=OH=1，AP=

2

AC=

2

，
∴AH=AP+PH=

2

+1，
而AH=OB，
∴t-2=

2

+1，
∴t=3+

2

；
（3）当点A在x轴下方，如图2，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，交x轴于Q，AH⊥x轴于H，⊙A与直线OM交于E、F，
则AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=2-t，
∵EF=1，
∴△AEF为等边三角形，
∴AC=

3

2

AE=

3

2

，
∵直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°，
∴∠COH=45°，
与（2）一样可得△OCQ和△AHQ都是等腰直角三角形，
∴HQ=AH=2-t，
∴OQ=OH-HQ=t-1，AQ=

2

（2-t），
∴CQ=

2

2

OQ=

2

2

（t-1），
∵AC=CQ+AQ，
∴

2

2

（t-1）+

2

（2-t）=

3

2

，解得t=3-

6

2

；
当点A在x轴上方，如图3，作AB⊥y轴于B，AC⊥直线OM于C，AH⊥x轴于H，交直线OM于Q，⊙A与直线OM交于E、F，
则AB=OH=1，AE=AF=1，OB=AH=t-2，
与前面一样可得△AEF为等边三角形，AC=

3

2

，△ACQ和△OHQ都是等腰直角三角形，
∵HQ=OH=1，AQ=

2

AC=

2

•

3

2

=

6

2

，
∵AH=HQ+AQ，
∴t-2=1+

6

2

，得t=3+

6

2

，
综上所述，t的值为3-

6

2

或3+

6

2

．

点评：本同考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题．