Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．
（1）求证：EF=DF-BE；
（2）若△ADF的周长为$\frac{7}{3}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；
（2）设DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b＞0，由已知条件得出DF+AF=$\frac{4}{3}$，即a+b=$\frac{4}{3}$，由勾股定理得出a²+b²=1，再由完全平方公式得出a-b即可．

解答 （1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，
∴∠DAF=∠ABE，
在△ADF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ABE}\\{∠DFA=∠AEB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∴EF=AE-AF=DF-BE；
（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF-AF=a-b＞0，
∵△ADF的周长为$\frac{7}{3}$，AD=1，
∴DF+AF=$\frac{4}{3}$，
即a+b=$\frac{4}{3}$，由勾股定理得：DF²+AF²=AD²，
即a²+b²=1，
∴（a-b）²=2（a²+b²）-（a+b）²=2-$\frac{16}{9}$=$\frac{2}{9}$，
∴a-b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即EF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．