Question

20．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且∠ABE=∠DBC．
（1）试判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，AE=1，求此时⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠ABE=∠DBC，可证得∠2+∠1=90°，即可得∠BEO=90°，则可证得BE与⊙O相切；
（2）由AB=$\sqrt{3}$，AE=1，则可求得∠ABE=30°，继而求得∠OBE=30°，BE=2AE=2，然后解直角三角形OBE，即可求得OE的长，即可得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°．
∴∠ADB=∠DBC，∠ABE+∠AEB=90°．
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC，
∴∠OED=∠ADB=∠ABE．
∴∠OED+∠AEB=90°．
∴∠BEO=90°．
∵点E在⊙O上，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：∵AB=$\sqrt{3}$，AE=1，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABE=30°，
∴∠OBE=30°，BE=2AE=2，
∵tan∠OBE=$\frac{OE}{BE}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、矩形的性质以及直角三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．