Question

8．如图，点A（-2，b）是函数y=$\frac{k}{x}$的图象上的点，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，若一次函数y=ax+1的图象经过点A且与x轴交于点M，则AO：AM=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由△AOB的面积为2可求出反比例函数和A点坐标，可求得反比例函数解析式和A点坐标，再代入一次函数解析式可求得一次函数解析式中的a，求得一次函数的解析式，再令y=0可求出M点的坐标，在Rt△ABM中利用勾股定理可求得AM，且容易求得OA，可求得答案．

解答 解：∵△AOB的面积为2，A（-2，b），
∴$\frac{1}{2}$OB•AB=$\frac{1}{2}$×2b=2，解得b=2，
∴A点坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数为y=-$\frac{4}{x}$，
又A点在一次函数y=ax+1的图象上，
∴2=-2a+1，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
令y=0，即-$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=2，
∴M点坐标为（2，0），
在Rt△ABM中，AB=2，BM=BO+OM=2+2=4，
由勾股定理可得AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
且在Rt△AOB中可求得OA=2$\sqrt{2}$，
∴AO：AM=2$\sqrt{2}$：2$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点的求法，由三角形的面积求得反比例函数的解析式是解题的关键．