Question

【题目】数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用x 表示不超过 x 的最大整数，如 3 ， 2 2 ， 2.1 3 。给出如下结论：①x x ；②若x n ，则 x 的取值范围是 n x n 1 ；③当1 x 1 时， 1 x 1 x 的值为 1 或 2；④ x 2.75 是方程 4x 2x 5 0 的唯一一个解。其中正确的结论有（ ）

A.①②B.②③C.①③D.③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当-1＜x＜0，x=0，0＜x＜1时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．

解：因为[-3.1]=-4≠-3，所以[-x]≠-x，故①错误；
若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，故②是正确的；
当-1＜x＜0时，[1+x]+[1-x]=0+1=1，
当x=0时，[1+x]+[1-x]=1+1=2，
当0＜x＜1时，[1+x]+[1-x]=1+0=1，综上③是正确的；
由题意，得0≤x-[x]＜1，
4x-2[x]+5=0，
2x-[x]+=0，
x-[x]=-x-，
∴0≤-x-＜1，
∴-3.5＜x≤-2.5．
当-3.5＜x＜-3时，方程变形为4x-2×（-4）+5=0，
解得x=-3.25；
当-3≤x≤-2.5时，方程变形为4x-2×（-3）+5=0，
解得x=-2.75；
所以-3.25与-2.75都是方程4x-2[x]+5=0的解．故④是错误的．
故选：B．