【题目】填空并解答相关问题:
(1)观察下列数1,3,9,27,81…,发现从第二项开始,每一项除以前一项的结果是一个常数,这个常数是________;根据此规律,如果an (n为正整数)表示这列数的第n项,那么an =__________;
你能求出它们的和吗?
计算方法:如果要求1+3+32+33+…+320的值,
可令S=1+3+32+33+…+320①
将①式两边同乘以3,得3S=3+32+33+…+320+321②
由②式左右两边分别减去①式左右两边,
得3S-S=(3+32+33+…+320+321)-(1+3+32+33+…+320),
即2S=321-1,两边同时除以2得.
(2)你能用类比的思想求1+6+62+63+…+6100的值吗?写出求解过程.
(3)你能用类比的思想求1+m+m2+m3+…+mn(其中mn≠0,m≠1)的值吗?写出求解过程.
【答案】(1) 3, an=;(2)
;(3)
.
【解析】
(1) 从第二项开始,每一项除以前一项的结果是一个常数3,据此解答即可;
(2) 设可令S=1+6+62+63+…+6100,根据等式的性质,此等式的两边同时乘以6,得6S=6+62+63+…+6100+6101,两等式相减得6S-S=6101-1,解关于S的方程可求解;
(3) 设可令S=1+m+m2+m3+…+mn,根据等式的性质,此等式的两边同时乘以m,得mS=m+m2+m3+…+ mn+mn+1,两等式相减得(m-1)S=mn+1-1,解关于S的方程可求解..
(1)从第二项开始,每一项除以前一项的结果是一个常数,这个常数是3, an=;
(2) 可令S=1+6+62+63+…+6100①
将①式两边同乘以6,得6S=6+62+63+…+6100+6101②
由②式左右两边分别减去①式左右两边,
得6S-S=(6+62+63+…+6100+3101)-(1+6+62+63+…+6100),
即5S=6101-1,两边同时除以6得.
(3) 可令S=1+m+m2+m3+…+mn①
将①式两边同乘以m,得mS=m+m2+m3+…+mn+mn+1②
由②式左右两边分别减去①式左右两边,
得mS-S=(m+m2+m3+…+mn+mn+1)-(1+m+m2+m3+…+mn),
即(m-1)S=mn+1-1,两边同时除以m得.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(4,﹣2)、B(﹣2,n)两点,与x轴交于点C.
(1)求k2,n的值;
(2)请直接写出不等式k1x+b<的解集;
(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折,点A落在点A′处,连接A′B,A′C,求△A′BC的面积.
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【题目】定义一种新运算“⊕”:a⊕b=2a﹣ab,比如1⊕(﹣3)=2×1﹣1×(﹣3)=5
(1)求(﹣2)⊕3的值;
(2)若(﹣3)⊕x=(x+1)⊕5,求x的值;
(3)若x⊕1=2(1⊕y),求代数式2x+4y+1的值.
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【题目】数学著作《算术研究》一书中,对于任意实数,通常用x 表示不超过 x 的最大整数,如 3 , 2 2 , 2.1 3 。给出如下结论:①x x ;②若x n ,则 x 的取值范围是 n x n 1 ;③当1 x 1 时, 1 x 1 x 的值为 1 或 2;④ x 2.75 是方程 4x 2x 5 0 的唯一一个解。其中正确的结论有( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
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【题目】已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图(注: A、B、C 均在格点上)
(1)请在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 ,并直接写出A1B1C1 顶点的坐标;
(2)求A1B1C1 的面积;
(3)再将A1B1C1 向下平移 4 个单位长度,得到A2 B2C2 ,若点 M m, n 是ABC 上一点,请直接写出 M 在A2 B2C2 上对应点 M 2 的坐标。
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【题目】如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC.
(1)求∠MON的度数;
(2)若题干中的∠AOB=,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)若题干中的∠BOC=(
为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)综合(1)(2)(3)的结果,你能得出什么结论?
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【题目】计算:
(1)(﹣3)+40+(﹣32)+(﹣8)
(2)12﹣(﹣18)+(﹣7)
(3)(+3)﹣(﹣5
)+(﹣2
)﹣(﹣32
)
(4)81.26﹣293.8+8.74+111
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【题目】根据下表,回答问题:
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
-2x+5 | … | 9 | 7 | 5 | 3 | a | … |
2x+8 | … | 4 | 6 | 8 | 10 | b | … |
(初步感知)
(1)a= ;b= ;
(归纳规律)
(2)随着x值的变化,两个代数式的值变化规律是什么?
(问题解决)
(3)比较-2x+5与2x+8的大小;
(4)请写出一个含x的代数式,要求x的值每增加1,代数式的值减小5,当x=0时,
代数式的值为-7.
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【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式;
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?
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