Question

15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求BD•cos∠HBD的值；
（2）若∠CBD=∠A，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CH}$=3；然后求出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=$\frac{BH}{BD}$，求出BD•cos∠HBD的值是多少即可．
（2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得$\frac{BC}{HD}=\frac{AB}{BH}$；然后根据△ABC∽△DHC，推得$\frac{AB}{DH}=\frac{AC}{CD}=3$，所以AB=3DH；最后根据$\frac{3}{DH}=\frac{3DH}{4}$，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．

解答 解：（1）∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DHC，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CH}$=3，
∴CH=1，BH=BC+CH，
在Rt△BHD中，
cos∠HBD=$\frac{BH}{BD}$，
∴BD•cos∠HBD=BH=4．

（2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴$\frac{BC}{HD}=\frac{AB}{BH}$，
∵△ABC∽△DHC，
∴$\frac{AB}{DH}=\frac{AC}{CD}=3$，
∴AB=3DH，
∴$\frac{3}{DH}=\frac{3DH}{4}$，
解得DH=2，
∴AB=3DH=3×2=6，
即AB的长是6．

点评 （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．