Question

3．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=$\frac{3}{2}$CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM=AM=$\frac{3}{2}$x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；
（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜$\frac{4}{7}$时（如图2），4-7x=3x，解得x，易得AP；当$\frac{4}{7}≤x＜\frac{2}{3}$时（如图3），7-4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥$\frac{2}{3}$（如图4），同理得AP；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ=$\frac{1}{4}$，利用（1）（2）中结论得AI=16x，QI=19x，
解得x，得AP．

解答 解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，
∴AB=4x，
∴BQ=5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB=OQ，
∴$AH=BH=\frac{1}{2}AB$=2x，
∴CD=2x，
∴FD=$\frac{3}{2}CD$=3x；

（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
作OM⊥AQ于点M（如图1），
∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，
∴点O是BQ的中点，
∴QM=AM=$\frac{3}{2}$x
∴OD=MC=$\frac{9}{2}x+4$，
∴OE=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{5}{2}x$，
∴ED=2x+4，
S_矩形DEGF=DF•DE=3x（2x+4）=90，
解得：x₁=-5（舍去），x₂=3，
∴AP=3x=9；

（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，
I．点P在A点的右侧时（如图1）
∴2x+4=3x，解得：x=4，
∴AP=3x=12；
II．点P在A点的左侧时，
当点C在Q右侧，
0＜x＜$\frac{4}{7}$时（如图2），
∵ED=4-7x，DF=3x，
∴4-7x=3x，解得：x=$\frac{2}{5}$，
∴AP=$\frac{6}{5}$；
当$\frac{4}{7}$≤x＜$\frac{2}{3}$时（如图3），
∵ED=4-7x，DF=3x，
∴4-7x=3x，解得：x=$\frac{2}{5}$（舍去），
当点C在Q的左侧时，即x≥$\frac{2}{3}$（如图4），
DE=7x-4，DF=3x，
∴7x-4=3x，解得：x=1，
∴AP=3，
综上所述：当AP为12或$\frac{6}{5}$或3时，矩形DEGF是正方形；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，
当点N在AB的左侧时（如图5），
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM=x，BM=x，
∴∠GBM=45°，
∴BM∥AQ，
∴AI=AB=4x，
∴IQ=x，
∴NQ=$\frac{x}{\sqrt{2}}$=2，
∴x=2$\sqrt{2}$，
∴AP=6$\sqrt{2}$；
当点N在AB的右侧时（如图6），
过点B作BJ⊥GE于点J，
∵GJ=x，BJ=4x，
∴tan∠GBJ=$\frac{1}{4}$，
∴AI=16x，
∴QI=19x，
∴NQ=$\frac{19x}{\sqrt{17}}$=2，
∴x=$\frac{2\sqrt{17}}{19}$，
∴AP=$\frac{6\sqrt{17}}{19}$，
综上所述：AP的长为6$\sqrt{2}$或$\frac{6\sqrt{17}}{19}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．