【题目】如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点.
(1)求证:DE为⊙O切线;
(2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD;
(3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)2;(3)PF=FD,证明见解析.
【解析】(1)如图1,连接OD、BD,根据圆周角定理得:∠ADB=90°,则AD⊥BD,OE⊥BD,由垂径定理得:BM=DM,证明△BOE≌△DOE,则∠ODE=∠OBE=90°,可得结论;
(2)设AP=a,根据三角函数得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角△OPD中,根据勾股定理列方程可得:32=(3-a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;
(3)先证明△APF∽△ABE,得,由△ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得结论.
详证明:(1)如图1,连接OD、BD,BD交OE于M,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,AD⊥BD,
∵OE∥AD,
∴OE⊥BD,
∴BM=DM,
∵OB=OD,
∴∠BOM=∠DOM,
∵OE=OE,
∴△BOE≌△DOE(SAS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,
∴DE为⊙O切线;
(2)设AP=a,
∵sin∠ADP=,
∴AD=3a,
∴PD=,
∵OP=3-a,
∴OD2=OP2+PD2,
∴32=(3-a)2+(2a)2,
9=9-6a+a2+8a2,
a1=,a2=0(舍),
当a=时,AD=3a=2,
∴AD=2;
(3)PF=FD,
理由是:∵∠APD=∠ABE=90°,∠PAD=∠BAE,
∴△APF∽△ABE,
∴,
∴PF=,
∵OE∥AD,
∴∠BOE=∠PAD,
∵∠OBE=∠APD=90°,
∴△ADP∽△OEB,
∴,
∴PD=,
∵AB=2OB,
∴PD=2PF,
∴PF=FD.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F,
(1)证明:△ABD≌△BCE;
(2)证明:△ABE∽△FAE;
(3)若AF=7,DF=1,求BD的长.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF,此时恰好四边形AEHB为菱形,连接CH交FG于点M,则HM的长度为( )
A. B. 2 C. D. 1
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【题目】某校九年级为了解学生课堂发言情况,随机抽取该年级部分学生,对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计,其结果如下表,并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,已知B、E两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题:
(1)则样本容量容量是______________,并补全直方图;
(2)该年级共有学生500人,请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数;
(3)已知A组发言的学生中恰有1位女生,E组发言的学生中有2位男生,现从A组与E组中分别抽一位学生写报告,请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
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【题目】如图, 抛物线与轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数m,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.
(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段(点A,B的对应点分别为).画出线段;
(2)将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;
(3)以为顶点的四边形的面积是 个平方单位.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上,且OE=OC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状,并说明理由.
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【题目】自我省深化课程改革以来,某校开设了:A.利用影长求物体高度,B.制作视力表,C.设计遮阳棚,D.制作中心对称图形,四类数学实践活动课.规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课,学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查,将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息解决下列问题:
(1)本次共调查名学生,扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为度;
(2)补全条形统计图;
(3)选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色,现从4人中随机抽取2人做校报设计,请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率.
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