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【题目】如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BEAB,OEADBEE点,连接AE、DE、AECDF点.

(1)求证:DE为⊙O切线;

(2)若⊙O的半径为3,sinADP=,求AD;

(3)请猜想PFFD的数量关系,并加以证明.

【答案】(1)证明见解析;(2)2;(3)PF=FD,证明见解析.

【解析】(1)如图1,连接OD、BD,根据圆周角定理得:∠ADB=90°,则ADBD,OEBD,由垂径定理得:BM=DM,证明BOE≌△DOE,则∠ODE=OBE=90°,可得结论;

(2)设AP=a,根据三角函数得:AD=3a,由勾股定理得:PD=2a,在直角OPD中,根据勾股定理列方程可得:32=(3-a)2+(2a)2,解出a的值可得AD的值;

(3)先证明APF∽△ABE,得,由ADP∽△OEB,得,可得PD=2PF,可得结论.

详证明:(1)如图1,连接OD、BD,BDOEM,

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,ADBD,

OEAD,

OEBD,

BM=DM,

OB=OD,

∴∠BOM=DOM,

OE=OE,

∴△BOE≌△DOE(SAS),

∴∠ODE=OBE=90°,

DE为⊙O切线;

(2)设AP=a,

sinADP=

AD=3a,

PD=

OP=3-a,

OD2=OP2+PD2

32=(3-a)2+(2a)2

9=9-6a+a2+8a2

a1=,a2=0(舍),

a=时,AD=3a=2,

AD=2;

(3)PF=FD,

理由是:∵∠APD=ABE=90°,PAD=BAE,

∴△APF∽△ABE,

PF=

OEAD,

∴∠BOE=PAD,

∵∠OBE=APD=90°,

∴△ADP∽△OEB,

PD=

AB=2OB,

PD=2PF,

PF=FD.

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