Question

20．关于x的一元二次方程（1-m²）x²-4（m-1）x-4=0的根的情况并根据下列条件确定m的值．
（1）两实数根互为倒数；
（2）两实数根互为相反数；
（3）两实数根中有一根为1．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系和倒数的定义得到关于m的方程，通过解该方程来求m的值；
（2）根据根与系数的关系和相反数的定义得到关于m的方程，通过解该方程来求m的值；
（3）把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．

解答 解：△=16（m-1）²-4（1-m²）×（-4）=32-32m≥0，解得m≤1．
（1）依题意得 $\frac{-4}{1-{m}^{2}}$=1，
整理，得m²=5，
解得 m₁=1+$\sqrt{5}$（舍去），m₂=1-$\sqrt{5}$；
．
（2）依题意得-$\frac{-4（m-1）}{1-{m}^{2}}$=0，
则m-1=0，
解得 m=1．

（3）把x=1代入（1-m²）x²-4（m-1）x-4=0，得
（1-m²）-4（m-1）-4=0，
整理得：m²+4m-1=0，
则m=$\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$=-2±$\sqrt{5}$，
解得 m₁=-2+$\sqrt{5}$（舍去），m₂=-2-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式．注意，一定要根据根的判别式来求得m的取值范围，然后根据所求的m的值进行取舍．