Question

15．已知，如图，在正方形ABCD的各边上截取AE=BF=CG=DH，连接AF、BG、CH、DE，依次相交于点N、P、Q、M，求证：四边形MNPQ是正方形．

Answer 1

分析 先证明三角形全等，得出对应角相等，根据角的互余关系得出四边形MNPQ的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明三角形全等得出一组邻边相等，可以证得四边形是正方形．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
在△ABF和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABC=∠BCD}&{\;}\\{BF=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BCG（SAS）
∴∠BAF=∠GBC，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠GBC+∠AFB=90°，
∴∠BNF=90°，
∴∠MNP=90°．
∴同理可得∠NPQ=∠PQM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形．
在△ABN和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GBC}&{\;}\\{∠ANB=∠BPC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△BCP（AAS），
∴AN=BP，
在△AME和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GBC}&{\;}\\{∠AME=∩BNF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BNF（AAS），
∴AM=BN，
∴MN=NP，
∴矩形MNPQ是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形判定与性质、矩形的判定；证明三角形全等是解决问题的关键．