Question

20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式$\frac{PP′}{AC}=\frac{BM}{OB}$，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴$\frac{PP′}{AC}=\frac{BM}{OB}$，即$\frac{PP′}{6}=\frac{x}{4}$，
∴PP′=$\frac{3}{2}$x，
∵OM=4-x，
∴△OPP′的面积y=$\frac{1}{2}$PP′•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$x（4-x）=-$\frac{3}{4}$x²+3x；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为．
故选：D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．