Question

12．如图，经过原点O的抛物线y=ax²-6ax交x轴于点A，顶点B在正比例函数y=$\frac{4}{3}$x的图象上．若点M在直线OB上，点N在抛物线的对称轴上，求ON+MN的最小值．

Answer 1

分析 先根据抛物线与x轴的交点问题得到A（6，0），则抛物线的对称轴为直线x=3，则可确定B（3，4），利用勾股定理可计算出BO=BA=5，作点M关于直线x=3的对称点M′，直线x=3与x轴的交点为C，如图，利用BA与BO关于BC对称得到点M′在BA上，则ON+MN=ON+M′N，接着利用两点之间线段最短和垂线段最短可得当点O、N、M′共线且垂直AB时，ON+M′N最短，然后利用面积法求出垂线段OM′的长即可．

解答 解：令y=0，ax²-6ax=0，解得x₁=0，x₂=6，则A（6，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=3，
当x=3时，y=$\frac{4}{3}$x=4，则B（3，4），
所以BO=BA=5，
作点M关于直线x=3的对称点M′，直线x=3与x轴的交点为C，如图，
因为BA与BO关于BC对称，
所以点M′在BA上，则ON+MN=ON+M′N，
所以当点O、N、M′共线且垂直AB时，即OM′⊥AB，ON+M′N最短，最短长度为垂线段OM′的长，
而$\frac{1}{2}$OM′•AB=$\frac{1}{2}$BC•OA，
所以OM′=$\frac{24}{5}$，
即ON+MN的最小值为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．