【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,且对角线AC平分∠BCD,∠ACD=30°,BD=6.
(1)求证:△BCD是等边三角形;(2)求AC的长(结果保留根号).
【答案】(1)见解析;(2)AC的长为6.
【解析】
(1)先证四边形ABCD是菱形,得BC=CD,即已知两边相等,再寻找一个角为60°,即可证明△BCD是等边三角形;
(2)先由三角函数求OC的长,即可得出AC的长.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAC=∠BCA,∠BAC=∠DCA.
∵AC平分∠BCD,∴∠ACD=∠ACB,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形,∴BC=CD.
∵∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴△BCD是等边三角形.
(2)∵O为菱形对角线的交点,∴AC=2OC,ODBD=3,∠COD=90°.
在Rt△COD中,tan∠OCD=tan30°,∴OC,∴AC=2OC=6.
答:AC的长为6.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,E,F分别在边AC,BC,若以EF为直径作圆经过AB上某点D,则EF长的取值范围为_____.
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【题目】如图1所示,点P是线段AB的中点,且AB=12,现分别以AP,BP为边,在AB的同侧作等边△MAP和△NBP,连结MN。
(1)请只用不含刻度的直尺在图1中找到△MNP外接圆的圆心O,并保留作图痕迹;
(2)若将“点P是线段AB的中点”改成“点P是线段AB上异于端点的任意一点”,其余条件不变(如图2),请用文字写出△MNP外接圆圆心O的位置,并求出该圆半径的最小值.
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【题目】某商店经销甲、乙两种商品现有如下信息:信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是3元;信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元,乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元;信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件,共付了12元.请根据以上信息,解答下列问题:
求甲、乙两种商品的零售单价;
该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件经调查发现,甲种商品零售单价每降元,甲种商品每天可多销售100件商店决定把甲种商品的零售单价下降元在不考虑其他因素的条件下,当m为多少时,商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元?
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,5点朝上是必然事件
B. 明天下雪的概率为,表示明天有半天都在下雪
C. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次,他们成绩的平均数相同,方差分别是S甲2=0.4,S乙2=0.6,则甲的射击成绩较稳定
D. 了解一批充电宝的使用寿命,适合用普查的方式
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上在x轴下方的动点,过M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)E是抛物线对称轴上一点,F是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80cm,宽AB=48cm,小强身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK=80°),身体前倾成125°(∠EFG=125°),脚与洗漱台距离GC=15cm(点D,C,G,K在同一直线上).
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少?
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方,他应向前或后退多少?
(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17, ≈1.41,结果精确到0.1cm)
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【题目】如图是小朋友荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线BD上,转轴B到地面的距离BD=3m.小亮在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点A时,测得点A到BD的距离AC=2m,点A到地面的距离AE=1.8m;当他从A处摆动到A′处时,有A'B⊥AB.
(1)求A′到BD的距离;
(2)求A′到地面的距离.
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