Question

如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，在AB，AC边上各取一点D，E，使AD=AE，且DE连线恰好通过圆心O．求证：DO²=BD•CE．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，首先证明∠BDO=∠CEO，进而证明∠DBO=∠EOC、△BDO∽△OEC，写出比例式，化为等积式即可解决问题．

解答：证明：如图，连接OA、OB、OC；
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠DBO=∠CBO=α，∠ECO=∠BCO=β，∠DAO=∠EAO=γ；
则2（α+β+γ）=180°，α+β+γ=90°，α+β=90°-γ；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=

180°-2γ

2

=90°-γ，
∴∠BDO=∠CEO=180°-90°+γ=90°+γ；
∵∠BOC=180°-（α+β）=90°+γ，
∴∠BDO=∠BOC=∠OEC；
∴∠DBO+∠DOB=∠DOB+∠EOC，
∴∠DBO=∠EOC，
∴△BDO∽△OEC，
∴

DO

EC

=

BD

OE

，
∴DO•OE=BD•CE；
在△AOD与△AOE中，

AD=AE ∠DAO=∠EAO AO=AO

，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴DO=OE，
∴DO²=BD•CE．

点评：该题主要考查了三角形的内切圆与内心的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．