Question

16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，点H在AB上，且∠EHF=90°，求证：CH⊥AB．

Answer 1

分析 根据矩形的判定与性质，可得OD=OC=OE=OF，根据直角三角形的性质，可得OH=$\frac{1}{2}$EF=OE=OF，
根据等腰三角形的判定，可得∠CHO=∠OCH，∠OHD=∠ODH，根据三角形的内角和定理，可得答案．

解答 证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥BC，DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
得OD=OC=OE=OF．
在Rt△EHF中，OH=$\frac{1}{2}$EF=OE=OF，
∴OH=$\frac{1}{2}$CD=OC=OD，
∴在△CHD中，∠CHO=∠OCH，∠OHD=∠ODH．
∵∠CHO+∠OCH+∠OHD+∠ODH=180°，
∴∠CHO+∠OHD=90°，
即CH⊥AB．

点评 本题考查了矩形的判定与性质，利用了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理．