Question

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

 

Answer 1

解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6上，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=2x²﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n²﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n²﹣8n+6），

=﹣2n²+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）²+，

∵PC＞0，

∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，

∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，

则：，解得，

∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3  ①

又抛物线的解析式为：y=2x²﹣8x+6 ②

联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）

∴C（3，0），即点C、M点重合．

当x=3时，y=x+2=5，

∴P₁（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．

∵y=2x²﹣8x+6=2（x﹣2）²﹣2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，

则点C在抛物线上，且C（，）．

当x=时，y=x+2=．

∴P₂（，）．

∵点P₁（3，5）、P₂（，）均在线段AB上，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．