【题目】已知:如图1,矩形ABCD内接于⊙O.⊙O的半径为4,AB=4,将矩形ABCD绕点O逆时针旋转,得到矩形A′B′C′D′,当顶点A′、B′在劣弧弧AD上滑动,矩形ABCD与矩形A′B′C′D′交于点M,N,G,H.
(1)求AD;
(2)判断四边形MNGH的形状,并说明理由;
(3)在旋转过程中是否存在四边形MNGH的面积有最大值或最小值?如果存在,求出面积;如果不存在,试简要说明理由.
【答案】(1)4;(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.理由见解析;(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是16,四边形MNGH的面积的最大值是.
【解析】
(1)根据勾股定理计算即可;
(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.首先证明四边形MNGH是平行四边形,再利用面积法证明邻边相等即可解决问题;
(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,如图3中,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是4×4=16.如图4中,当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时,这个四边形MNGH的面积有最大值;
(1)如图1中,连BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴BD为直径,
∴
(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.
理由:如图2中,
∵四边形ABCD、四边形A′B′C′D′都是矩形,
∴重叠四边形MNGH的对边互相平行,
∴四边形MNGH是平行四边形,
过N作NL⊥GH于点L,NK⊥HM于点M,又因NL=NK,
所以S四边形MNGH=GHNL=HMKN,(也可通过“AAS”证△NLG≌△NMK)
∴MH=HG,
∴四边形MNGH的形状是菱形.
(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,如图3中,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是4×4=16.
如图4中,当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时,这个四边形MNGH的面积有最大值,设GA=x,则
由勾股定理 解得
则四边形MNGH的面积的最大值是
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【题目】如图,反比例函数y= (x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为________.
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【题目】“鲜乐”水果店购进一优质水果,进价为 10 元/千克,售价不低于 10 元/千克,且不超过 16 元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量 y(千克) 与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系
销售量 y(千克) | … | 29 | 28 | 27 | 26 | … |
售价 x(元/千克) | … | 10.5 | 11 | 11.5 | 12 |
(1)某天这种水果的售价为 14 元/千克,求当天该水果的销售量;
(2)如果某天销售这种水果获利 100 元,那么该天水果的售价为多少元?
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【题目】已知某种产品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查发现,该产品每降价1元,每星期可多卖出20件,由于供货方的原因销量不得超过380件,设这种产品每件降价x元(x为整数),每星期的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)该产品销售价定为每件多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该产品销售价在什么范围时,每星期的销售利润不低于6000元,请直接写出结果.
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【题目】如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,E 为 AB 上一点,分别以 ED,EC 为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点 A,B 恰好落在 CD 边的点 F 处.若 AD=4,BC=7,则 EF 的值是( )
A.2B.4C.2 D.4
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【题目】如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B.点为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C.过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N.记AP=x,△PBC的面积为S.
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当点P在线段AB上移动时,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,直接写出所有能使△PBC成为等腰三角形的x的值;如果不可能,请说明理由.
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【题目】已知BC是⊙O的直径,BF是弦,AD过圆心O,AD⊥BF,AE⊥BC于E,连接FC.
(1)如图1,若OE=2,求CF;
(2)如图2,连接DE,并延长交FC的延长线于G,连接AG,请你判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图:一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(-2,6)和点B(4,n)
(1)求反比例函数的解析式和B点坐标
(2)根据图象回答,在什么范围时,一次函数的值大于反比例函数的值.
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