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【题目】已知:如图1,矩形ABCD内接于⊙O.⊙O的半径为4,AB=4,将矩形ABCD绕点O逆时针旋转,得到矩形A′B′C′D′,当顶点A′、B′在劣弧弧AD上滑动,矩形ABCD与矩形A′B′C′D′交于点M,N,G,H.

(1)求AD;

(2)判断四边形MNGH的形状,并说明理由;

(3)在旋转过程中是否存在四边形MNGH的面积有最大值或最小值?如果存在,求出面积;如果不存在,试简要说明理由.

【答案】(1)4(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.理由见解析;(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是16四边形MNGH的面积的最大值是

【解析】

(1)根据勾股定理计算即可;
(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.首先证明四边形MNGH是平行四边形,再利用面积法证明邻边相等即可解决问题;
(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,如图3中,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是4×4=16.如图4中,当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时,这个四边形MNGH的面积有最大值;

(1)如图1中,连BD,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,

BD为直径,

(2)结论:四边形MNGH的形状是菱形.

理由:如图2中,

∵四边形ABCD、四边形A′B′C′D′都是矩形,

∴重叠四边形MNGH的对边互相平行,

∴四边形MNGH是平行四边形,

NNLGH于点L,NKHM于点M,又因NL=NK,

所以S四边形MNGH=GHNL=HMKN,(也可通过“AAS”NLG≌△NMK)

MH=HG,

∴四边形MNGH的形状是菱形.

(3)当矩形ABCD、矩形A′B′C′D′互相垂直时,如图3中,这个四边形MNGH的面积有最小值,最小值是4×4=16.

如图4中,当顶点B′与顶点A重合或顶点A′与顶点D重合时,这个四边形MNGH的面积有最大值,设GA=x,则

由勾股定理 解得

则四边形MNGH的面积的最大值是

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销售量 y(千克)

29

28

27

26

售价 x(元/千克)

10.5

11

11.5

12

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(1)求w与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)该产品销售价定为每件多少元时,每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?

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(1)当点C在第一象限时,求证:OPM≌△PCN

(2)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;

(3)当点P在线段AB上移动时,PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,直接写出所有能使PBC成为等腰三角形的x的值;如果不可能,请说明理由.

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