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【题目】已知BC是⊙O的直径,BF是弦,AD过圆心O,ADBF,AEBCE,连接FC.

(1)如图1,若OE=2,求CF;

(2)如图2,连接DE,并延长交FC的延长线于G,连接AG,请你判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)4;(2)直线AG与⊙O相切.

【解析】

(1)AAS证明△AEO≌△BDO,得出OE=OD=2,证出OD//CF,得出OD为△BFC的中位线,得出CF=2OD=4即可;

(2)ASA证明△ABD≌△GDF,得出AD=GF,证出AD//GF,得出四边形ADFG为矩形,由矩形的性质得出AGOA,即可得出结论.

解:(1)BC是⊙O的直径,AD过圆心O,ADBF,AEBCE,

∴∠AEO=BDO=90°,OA=OB,

在△AEO和△BDO中,

∴△AEO≌△BDO(AAS),

OE=OD=2,

BC是⊙O的直径,

∴∠CFB=90°,即CFBF,

ODCF,

OBC的中点,

OD为△BFC的中位线,

CF=2OD=4;

(2)直线AG与⊙O相切,理由如下:

连接AB,如图所示:

OA=OB,OE=OD,

∴△OAB与△ODE为等腰三角形,

∵∠AOB=DOE,

∴∠ADG=OED=BAD=ABO,

∵∠GDF+ADG=90°=BAD+ABD,

∴∠GDF=ABD,

OD为△BFC的中位线,

BD=DF,

在△ABD和△GDF中,

∴△ABD≌△GDF(ASA),

AD=GF,

ADBF,GFBF,

ADGF,

∴四边形ADFG为矩形,

AGOA,

∴直线AG与⊙O相切.

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