【题目】已知BC是⊙O的直径,BF是弦,AD过圆心O,AD⊥BF,AE⊥BC于E,连接FC.
(1)如图1,若OE=2,求CF;
(2)如图2,连接DE,并延长交FC的延长线于G,连接AG,请你判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)4;(2)直线AG与⊙O相切.
【解析】
(1)由AAS证明△AEO≌△BDO,得出OE=OD=2,证出OD//CF,得出OD为△BFC的中位线,得出CF=2OD=4即可;
(2)由ASA证明△ABD≌△GDF,得出AD=GF,证出AD//GF,得出四边形ADFG为矩形,由矩形的性质得出AG⊥OA,即可得出结论.
解:(1)∵BC是⊙O的直径,AD过圆心O,AD⊥BF,AE⊥BC于E,
∴∠AEO=∠BDO=90°,OA=OB,
在△AEO和△BDO中,
,
∴△AEO≌△BDO(AAS),
∴OE=OD=2,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠CFB=90°,即CF⊥BF,
∴OD∥CF,
∵O为BC的中点,
∴OD为△BFC的中位线,
∴CF=2OD=4;
(2)直线AG与⊙O相切,理由如下:
连接AB,如图所示:
∵OA=OB,OE=OD,
∴△OAB与△ODE为等腰三角形,
∵∠AOB=∠DOE,
∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO,
∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD,
∴∠GDF=∠ABD,
∵OD为△BFC的中位线,
∴BD=DF,
在△ABD和△GDF中,
,
∴△ABD≌△GDF(ASA),
∴AD=GF,
∵AD⊥BF,GF⊥BF,
∴AD∥GF,
∴四边形ADFG为矩形,
∴AG⊥OA,
∴直线AG与⊙O相切.
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【题目】如图,点A和点B分别是反比例函数y=(k≠0)图象上两点,连接AB交x轴负半轴于点C,连接BO,tan∠BCO=,∠BOC=135°,CO=2,过点A作AD∥BO交反比例函数y=于点D,连接OD,BD.
(1)求点A的坐标;
(2)求△OBD的面积.
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【题目】已知:如图1,矩形ABCD内接于⊙O.⊙O的半径为4,AB=4,将矩形ABCD绕点O逆时针旋转,得到矩形A′B′C′D′,当顶点A′、B′在劣弧弧AD上滑动,矩形ABCD与矩形A′B′C′D′交于点M,N,G,H.
(1)求AD;
(2)判断四边形MNGH的形状,并说明理由;
(3)在旋转过程中是否存在四边形MNGH的面积有最大值或最小值?如果存在,求出面积;如果不存在,试简要说明理由.
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【题目】如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=,写出DO与AD之间的数量关系,不需证明.
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【题目】在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时,下列说法正确的是__________.
①不同次数的试验,正面向上的频率可能会不相同
②当抛掷的次数很大时,正面向上的次数一定为
③多次重复试验中,正面向上发生的频率会在某个常数附近摆动,并趋于稳定
④连续抛掷次硬币都是正面向上,第次抛掷出现正面向上的概率小于
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【题目】如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时,抛物线C2的顶点在抛物线C1上,那么,我们称抛物线C1与C2关联.
(1)已知两条抛物线①:y=x2+2x﹣1,②:y=﹣x2+2x+1,判断这两条抛物线是否关联,并说明理由;
(2)抛物线C1:y=(x+1)2﹣2,动点P的坐标为(t,2),将抛物线C1绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C2,若抛物线C2与C1关联,求抛物线C2的解析式.
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【题目】如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度.
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.
参考数据:.
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【题目】已知,其中
(1)观察发现:将这两个三角形按图(1)所示的方式摆放,使点落在上,的延长线交于点,连结,易证,请你直接写出与之间的数量关系:
(2)类比探究:将绕点旋转到图(2)的位置时,使交的延长线于点,则(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,写出此时与之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】将一副直角三角板如图摆放,等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同,且斜边BC与BE在同一直线上,AC与BD交于点O,连接CD.
求证:△CDO是等腰三角形.
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