【题目】如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B.点为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C.过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N.记AP=x,△PBC的面积为S.
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,求出S与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当点P在线段AB上移动时,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,直接写出所有能使△PBC成为等腰三角形的x的值;如果不可能,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)S=x2﹣
x+
(
<x<
).(3)点P的坐标为(0,1)或(
,1﹣
).
【解析】
试题分析:(1)根据∠OPC=90°和同角的余角相等,我们可得出△OPM和△PCN中两组对应角相等,要证两三角形全等,必须有相等的边参与,已知了OA=OB,因此三角形OAB是等腰直角三角形,那么△AMP也是个等腰三角形,AM=MP,OA=OB=MN,由此我们可得出OM=PN,由此我们可得出两三角形全等.
(2)分两种情况进行讨论:①点C在第一象限时,②点C在第四象限时.分别利用S=S△PBC=BCPN求解即可.
(3)要分两种情况进行讨论:①当C在第一象限时,要想使PCB为等腰三角形,那么PC=CB,∠PBC=45°,因此此时P与A重合,那么P的坐标就是A的坐标.②当C在第四象限时,要想使PCB为等腰三角形,那么PB=BC,在等腰RT△PBN中,我们可以用x表示出BP的长,也就表示出了BC的长,然后根据(1)中的全等三角形,可得出MP=NC,那么可用这两个含未知数x的式子得出关于x的方程来求出x的值.那么也就求出了PM、OM的长,也就得出了P点的坐标.
证明:(1)如图,
∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=90°
∴四边形OBNM为矩形
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB,
∴∠1=∠3=45°
∵MN∥OB
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°,
∴AM=PM
∴OM=OA﹣AM=1﹣AM,PN=MN﹣PM=1﹣PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°,
∴∠4+∠5=90°,
又∵∠4+∠6=90°,
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN
(2)解:①点C在第一象限时,
∵AM=PM=APsin45°=x
∴OM=PN=1﹣x,
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=x,
∴BC=OM﹣CN=1﹣x﹣
x=1﹣
x,
∴S=S△PBC=BCPN=
×(1﹣
x)(1﹣
x)=
x2﹣
x+
(0≤x<
).
②如图1,点C在第四象限时,
∵AM=PM=APsin45°=x
∴OM=PN=1﹣x,
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=x,
∴BC=CN﹣OM=x﹣(1﹣
x)=
x﹣1,
∴S=S△PBC=BCPN=
×(1﹣
x)(
x﹣1)=
x2﹣
x+
(
<x<
).
(3)解:△PBC可能成为等腰三角形
①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)
②如图,当点C在第四象限,且PB=CB时
有BN=PN=1﹣x
∴BC=PB=PN=
﹣x
∴NC=BN+BC=1﹣x+
﹣x
由(2)知:NC=PM=x
∴1﹣x+
﹣x=
x
整理得(+1)x=
+1
∴x=1
∴PM=x=
,BN=1﹣
x=1﹣
,
∴P(,1﹣
)
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为(0,1)或(,1﹣
).
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【题目】问题原型:如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.过点D作△BCD的BC边上的高DE, 易证△ABC≌△BDE,从而得到△BCD的面积为.
初步探究:如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.用含a的代数式表示△BCD的面积,并说明理由.
简单应用:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.直接写出△BCD的面积.(用含a的代数式表示)
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【题目】如图1,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)如图2,点E、F分别在AB、BC上,连接EF,M是EF的中点,过M作EF的垂线交BD于P.求证:AE+CF=PD;
(3)如图3,在(2)条件下,连AF,若AE=CF,∠DAF=2∠AFE=2α,AF=13,BC=12,(BC>AB).求BD的长.
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【题目】已知:如图1,矩形ABCD内接于⊙O.⊙O的半径为4,AB=4,将矩形ABCD绕点O逆时针旋转,得到矩形A′B′C′D′,当顶点A′、B′在劣弧弧AD上滑动,矩形ABCD与矩形A′B′C′D′交于点M,N,G,H.
(1)求AD;
(2)判断四边形MNGH的形状,并说明理由;
(3)在旋转过程中是否存在四边形MNGH的面积有最大值或最小值?如果存在,求出面积;如果不存在,试简要说明理由.
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【题目】已知,如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,AB=5,AC=3,AD=2.
(1)按要求画图:延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 BE;
(2)求 BC 的长度.
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【题目】如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O.(1)求证:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=,写出DO与AD之间的数量关系,不需证明.
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【题目】在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时,下列说法正确的是__________.
①不同次数的试验,正面向上的频率可能会不相同
②当抛掷的次数很大时,正面向上的次数一定为
③多次重复试验中,正面向上发生的频率会在某个常数附近摆动,并趋于稳定
④连续抛掷次硬币都是正面向上,第
次抛掷出现正面向上的概率小于
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【题目】如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度.
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.
参考数据:.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
(1)按要求作图:
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1;
②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,
(2)按照(1)中②作图,回答下列问题:△A2B2C2中顶点A2坐标为 ,B2的坐标为 ,若P(a,b)为△ABC边上一点,则点P对应的点Q的坐标为 .
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