Question

2．已知α、β为方程x²-2（m+3）x+2m+4=0的两个根，当m=-2时，（α-1）²+（β-1）²有最小值．

Answer 1

分析 由已知中α，β是方程x²-2（m+3）x+2m+4=0的两个根，则首先应判断△≥0，即方程有两个实数根，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数）的关系，给出，（α-1）²+（β-1）²的表达式，然后根据二次函数的性质，即可得到出m为何值时，（α-1）²+（β-1）²有最小值，进而得到这个最小值．

解答 解：知α、β为方程x²-2（m+3）x+2m+4=0的两个根，
则△=【-2（m+3）】²-4（2m+4）=4（m+2）²+4＞0，
α+β=2m+6，α•β=2m+4，
∴（α-1）²+（β-1）²=α²+β²-2αβ-2（α+β）+1=（2m+6）²-2（2m+4）-2（2m+6）+1=4（m+2）²+1，
当m=-2时，（α-1）²+（β-1）²有最小值．
故答案为：-2．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，一次函数的性质，其中易忽略，方程有两个根时△≥0的限制，直接利用韦达定理和二次函数的性质求解，