Question

11．（1）解分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$；
（2）化简分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，结果可能为0吗？
（3）问题（1）与问题（2）有什么联系？请根据你的认识尝试解释分式方程产生增根的原因．

Answer 1

分析 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；据此求出分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$的解即可；
（2）由（1），可得分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$无解，所以$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$=0无解，因此化简分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，结果不可能为0，据此解答即可；
（3）由分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$无解，可得化简分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，结果不可能为0；反之，也成立；增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

解答 解：（1）∵$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$，
∴（1-x）+2（x-2）=-1，
∴x-2=0，
解得x=2，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴x=2不是方程的解，
∴分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$无解；

（2）∵分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$无解，
∴$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$=0无解，
∴化简分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，结果不可能为0．

（3）由分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$无解，可得化简分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，结果不可能为0；反之，也成立；
增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

点评 （1）此题主要考查了分式方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）此题还考查了增根的定义，以及增根的产生的原因，还有检验增根的方法，要熟练掌握．