如图1.?ABCD中.对角线BD⊥AB.AB=5.AD边上的高为4.等腰直角△EFG中.EF=4.∠EGF=45°.且△EFG与?ABCD位于直线AD的同侧.点F与点D重合.GF与AD在一直线上.△EFG从点D发以每秒1个单位的速度沿射线DA方向平移.当点G到点A停止运动,同时点P从点A发.以每秒3个单位的速度沿折线AD→DC方向运动.到达点C停止运动.设运动的时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图1，?ABCD中，对角线BD⊥AB，AB=5，AD边上的高为4，等腰直角△EFG中，EF=4，∠EGF=45°，且△EFG与?ABCD位于直线AD的同侧，点F与点D重合，GF与AD在一直线上，△EFG从点D发以每秒1个单位的速度沿射线DA方向平移，当点G到点A停止运动；同时点P从点A发，以每秒3个单位的速度沿折线AD→DC方向运动，到达点C停止运动，设运动的时间为．
（1）求AD的长度；
（2）在△EFG平移的过程中，记△EFG与△ABD相互重叠的面积为s，请直接写出面积s与运动时间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如图2，在运动的过程中，若线段EF与线段BD交于点Q，连接PQ，是否存在这样的时间，使得△DPQ为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先过点B作BH⊥AD，交AD与点H，然后在直角三角形ABH中，根据勾股定理求出AH=3，再根据AB²=AH•AD，求出AD的长是多少即可；
（2）根据t的取值范围，分4种情况进行讨论，求出△EFG与△ABD相互重叠部分的面积s与运动时间t的函数关系式，以及t的取值范围是多少即可；
（3）根据题意，分三种情况：①DQ=PQ时；②当DP=DQ时；③当DP=PQ时；分类讨论，再根据等腰三角形的性质，即可求出时间t的值是多少．

解答解：（1）如图1，过点B作BH⊥AD，交AD与点H，，
∵BH⊥AD，
∴AH=$\sqrt{{AB}^{2}{-BH}^{2}}$
=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$
=3
∵BD⊥AB，
∴AB²=AH•AD，
∴AD=AB²÷AH
=5²÷3
=$\frac{25}{3}$

（2）①如图2，，
点G与点D重合，需要的时间是：4÷1=4（秒），
当0＜t≤4时，
DH=AD-AH=$\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$，DF=t，
∵$\frac{FI}{BH}=\frac{DF}{DH}$，
∴$\frac{FI}{4}=\frac{t}{\frac{16}{3}}$，
解得FI=$\frac{3}{4}t$，
∴s=$\frac{1}{2}×DF×FI$
=$\frac{1}{2}t×\frac{3}{4}t$
=${\frac{3}{8}t}^{2}$
②如图3，，
点F与点H重合，需要的时间是：$\frac{16}{3}$÷1=$\frac{16}{3}$（秒），
当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，
∵$\frac{LF}{BH}=\frac{DF}{DH}$，
∴$\frac{LF}{4}=\frac{t}{\frac{16}{3}}$，
解得LF=$\frac{3}{4}$t，
∵∠EGF=45°，
∴JK=KG，
∵$\frac{JK}{LF}=\frac{DK}{DF}$，
∴$\frac{JK}{\frac{3}{4}t}=\frac{JK+t-4}{t}$，
解得JK=3t-12，FK=4-（3t-12）=16-3t，
∴s=$\frac{1}{2}×（3t-12）×（3t-12）+$（3t-12$+\frac{3}{4}t$）×（16-3t）÷2
=${\frac{9}{2}t}^{2}-36t+72$$+（-{\frac{45}{8}t}^{2}+48t-96）$
=-${\frac{9}{8}t}^{2}+12t$-24
③如图4，，
点F与点A重合，需要的时间是：$\frac{25}{3}$÷1=$\frac{25}{3}$（秒），
当$\frac{16}{3}$＜t≤$\frac{25}{3}$时，
∵$\frac{OF}{BH}=\frac{AF}{AH}$，
∴$\frac{OF}{4}=\frac{\frac{25}{3}-t}{3}$，
解得OF=$\frac{100-12t}{9}$，
∵$\frac{MN}{BH}=\frac{AN}{AH}$，
∴$\frac{MN}{AN}=\frac{BH}{AH}=\frac{4}{3}$，
∵AG=AD-DG=$\frac{25}{3}-（t-4）$=$\frac{37}{3}$-t，AG=AN$+NG=\frac{3}{4}MN+MN$，
∴$\frac{3}{4}MN+MN=\frac{37}{3}-t$，
解得MN=$\frac{148-12t}{21}$，
∴s=$\frac{1}{2}×$（$\frac{37}{3}$-t）×$\frac{148-12t}{21}$-$\frac{1}{2}×$（$\frac{25}{3}-t$）×$\frac{100-12t}{9}$
=${\frac{2}{7}t}^{2}$$-\frac{148}{21}t$$+\frac{2738}{63}$-${\frac{2}{3}t}^{2}$$+\frac{100}{9}t$$-\frac{1250}{27}$
=-${\frac{8}{21}t}^{2}+\frac{256}{63}t-\frac{536}{189}$
④如图5，，
点G与点A重合，需要的时间是：（$\frac{25}{3}$+4）÷1=$\frac{37}{3}$（秒），
当$\frac{25}{3}$＜t≤$\frac{37}{3}$时，
AG=AD-DG=$\frac{25}{3}$-（t-4）=$\frac{37}{3}-t$，
∵$\frac{AQ}{AH}=\frac{PQ}{BH}$，
∴$\frac{AG-PQ}{AH}=\frac{PQ}{BH}$，
即$\frac{\frac{37}{3}-t-PQ}{3}=\frac{PQ}{4}$，
解得PQ=$\frac{148-12t}{21}$，
∴s=$\frac{1}{2}AG．PQ$
=$\frac{1}{2}×（\frac{37}{3}-t）×\frac{148-12t}{21}$
=${\frac{2}{7}t}^{2}$$-\frac{148}{21}t$$+\frac{2738}{63}$
综上，可得s与t的函数关系式是：
s=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{3}{8}t}^{2}，（0＜t≤4）}\\{-{\frac{9}{8}t}^{2}+12t-24，（4＜t≤\frac{16}{3}）}\\{-{\frac{8}{21}t}^{2}+\frac{256}{63}t-\frac{536}{189}，（\frac{16}{3}＜t≤\frac{25}{3}）}\\{{\frac{2}{7}t}^{2}-\frac{148}{21}t+\frac{2738}{63}，（\frac{25}{3}＜t≤\frac{37}{3}）}\end{array}\right.$

（3）①如图6，，
当DQ=PQ时，
∵QF⊥PD，
∴PF=DF=t，
∵AP=3t，
∴3t+t+t=$\frac{25}{3}$，
解得t=$\frac{5}{3}$
②如图7，，
当DP=DQ时，
DP=$\frac{25}{3}-3t$，DF=t，
∵$\frac{DF}{DH}=\frac{FQ}{BH}$，
∴$\frac{t}{\frac{16}{3}}=\frac{FQ}{4}$，
解得FQ=$\frac{3}{4}t$，
∴DQ=$\sqrt{{t}^{2}{+（\frac{3}{4}t）}^{2}}=\frac{5}{4}t$，
∴$\frac{25}{3}-3t=\frac{5}{4}t$，
解得t=$\frac{100}{51}$
③如图8，，
当DP=PQ时，
FP=3t+t-$\frac{25}{3}$=4t-$\frac{25}{3}$，
∵$\frac{FQ}{BH}=\frac{DF}{DH}$，
∴$\frac{FQ}{4}=\frac{t}{\frac{16}{3}}$，
解得FQ=$\frac{3}{4}t$，
∴FQ²+FP²=PQ²=DP²，
即${（\frac{3}{4}t）}^{2}{+（4t-\frac{25}{3}）}^{2}{=[t-（4t-\frac{25}{3}）]}^{2}$，
整理，可得363t²-800t=0，
解得t=$\frac{800}{363}$或t=0（舍去）
综上，可得
当t=$\frac{5}{3}、\frac{100}{51}、\frac{800}{363}$时，△DPQ是等腰三角形．

点评（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了函数解析式的求法，考查了分析推理能力、空间想象能力的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，以及直角三角形的性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了运算能力，一定要细心，注意检查，稍有不慎，很容易出错．

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