Question

9．在平面直角坐标系中，以点A（2，4）为圆心，1为半径作⊙A，以点B（3，5）为圆心，3为半径作⊙B，M、N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{82}$-4
• B． $\sqrt{82}$-1
• C． 6-2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{17}$-3

Answer 1

分析 作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．

解答 解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（2，4），
∴点A′坐标（2，-4），
∵点B（3，5），
∴A′B=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-4-5）^{2}}$=$\sqrt{82}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{82}$-3-1=$\sqrt{82}$-4，
∴PM+PN的最小值为$\sqrt{82}$-4．
故选A．

点评 本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．