Question

14．如图，一次函数y=$\frac{2}{3}$x-2的图象分别与x轴．y轴交于点A．B，以线段AB为边在第四象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求过B、C两点直线的解析式．

Answer 1

分析 对于已知一次函数解析式，令x与y为0分别求出y与x的值，确定出A与B坐标，过C作CD垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AB=AC，利用AAS得到三角形ABO与三角形CAD全等，利用全等三角形的对应边相等得到AD=OB=2，CD=OA=3，根据OA+AD求出OD的长，确定出C坐标，再由B坐标，利用待定系数法求出过B、C两点直线的解析式即可．

解答 解：对于一次函数y=$\frac{2}{3}$x-2，令x=0得：y=-2；令y=0，解得x=3，
∴B的坐标是（0，-2），A的坐标是（3，0），
作CD⊥x轴于点D，如图所示：

∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACD}\\{∠BOA=∠ADC=90°}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5，
∴C的坐标是（5，-3），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式是y=-$\frac{1}{5}$x-2．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．