Question

20．已知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），它们的横坐标分别为x₁和x₂，且$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，此时，此时点M在直线y=x-10，当MA+MB最小，求直线AM的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再配方得到△=4（m+1）²+8，则根据非负数的性质可判断△＞0，于是根据判别式的意义可判断无论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）利用二次函数与x轴的交点问题，x₁和x₂为方程x²-2mx-2=0的两根，由根与系数的关系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），再利用$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$得到$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，则$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，于是得到抛物线解析式为y=x²-2m-8，接着通过解方程x²-2m-8=0得到A（-2，0），B（4，0），利用直线y=x-10得到它与坐标轴的交点为C、E的坐标，如图，则可判断△OCE为等腰直角三角形，得到∠OCE=45°，然后作B点关于CE的对称点D，如图，则∠DCE=∠BCE=45°，所以△BCD为等腰直角三角形，于是可得到D（10，-6），连结AD交CE于M，连结MB，如图，利用两点之间线段最短可判断此时MA+MB最小，最后利用待定系数法可求出直线AM的解析式．

解答 （1）证明：△=（-2m）²-4•[-2（m+3）]
=4m²+8m+12
=4（m+1）²+8，
∵4（m+1）²≥0，
∴4（m+1）²+8＞0，即△＞0，
∴无论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）解：x₁和x₂为方程x²-2mx-2=0的两根，则x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-2（m+3），
∵$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{2m}{-2（m+3）}$=-$\frac{1}{4}$，解得m=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2m-8，
当y=0时，x²-2m-8=0，解得x₁=-2，x₂=4，则A（-2，0），B（4，0），
直线y=x-10坐标轴的交点为C、E，如图，则C（10，0），E（-10，0），
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
作B点关于CE的对称点D，如图，则∠DCE=∠BCE=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BC=10-4=6，
∴D（10，-6），
连结AD交CE于M，连结MB，如图，
∵BM=MD，
∴MA+MB=MA+MD=AD，
∴此时MA+MB最小，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），D（10，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{10k+b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了待定系数法求一次函数解析式．解决本题的关键是确定B点关于直线y=x-10的对称点D的坐标．